CHAPITRE VI. — FONCTIONS DE LAMÉ

Pour n pair le nombre tolal des fonctions de Lamé sera donc k -H i fonctions de la classe ï et 3 k fonctions de la classe 111, soit en tout + 1=2 n -f* 1 fonctions de Lamé.

20 Degré impair. — Soit la classe II, on a n = 2 A -h 1 et

Le polynôme en j/‘ est d’ordre 2 k en l- • Il y a donc /. coeflicients

et/r + 1 équations. L’équation caractéristique s’écrira C”+l (h) — o. Nous aurons donc à envisager les trois équations

cas) ca.,(*) = o, e;uw=o, c iy,(*) = o,

où l’exposant II, représente la forme \/p« — e, ( j>fc —

Nous aurons donc 3 (k -h 1) solutions de la classe If.

Pour la classe IV, on a R de la forme

R = y/ P u — e i v p n — e, \j pu — ël (p*“: 1 -F Pi p*“! 2 4- . . . H- (3*i ),

expression de degré n = 2 À’ -f- 1 . 11 ja /r — 1 coefficients et À' relations. L’équation caractéristique unique est de degré k :

Pour 77 impair, nous avons donc 3 ( À\ + 1 ) solutions de la classe lî et k solutions de la classe IV, soit en tout 2 (2 k -f- 1) + 1 == in -j- 1 solutions.

Dans tous les cas, il y a donc 271-4-1 fonctions de Lamé.

Ayant obtenu ainsi pour n donné les in -f- 1 fonctions R, on en déduira les 277 + 1 fonctions M et les 277 + 1 fonctions N, en y remplaçant R par p, puis par c, ou bien 11 par e, puis par w. On aura ainsi le tableau suivant des fonctions de Lamé d’ordre n :

. Rjt, .

... RXn+i

M }lf

En faisant le produit de trois fonctions de Lamé correspondantes, 011 a un produit de Lamé et il y en aura 277+1 en tout.

Si nous revenons aux coordonnées rectangulaires, chacun de ces produits sera un polynôme en#, y, z de degré 77, harmonique, non

homogène. Il y a in + i de ces polynômes :

Qn(x,y, z), QU*, y, ...» QVl+l<X+ *)•

En faisant une combinaison linéaire des 2 /i + 1 produits de Lamé, on peut écrire

Q(x,y:z)= 2 AiRi.Mi.N;,;

où les A / sont 2/1+1 coefficients arbitraires, et en revenant aux coordonnées a?, y , z , on a encore une solution de AV — o, qui dépend de in + 1 coefficients arbitraires. Cette combinaison des QL (+ y j z)i nous la désignerons par Q (a?, y, z).

51 . Les équations caractéristiques en h ont toutes leurs racines réelles. — Voici la démonstration donnée par Liouville et basée sur la représentation du rectangle de la fonction pz dans le plan des variables complexes. Nous allons faire la démonstration pour le cas des fonctions de Lamé de la première classe. Elle s’étend facilement aux autres cas. Pour plus de commodité aussi, nous considérerons la fonction N au lieu de R.

Soit donc la fonction N (w). Prenons N, et N2 deux fonctions qui correspondent à deux valeurs h{ et h2 de h. Pour toute valeur de w comprise entre ca' etca + ca', où la fonction est réelle,

Formons alors la combinaison analogue à celle des moments

et intégrons entre les limites w' et ca + ca', on a

Or le premier membre est nul. En effet, on a

Ni = pk W -h a, w + OC*,