CHAPITRE VI. — FONCTIONS DE LAMÉ. 1 3çj

P étant un polynôme en j)iv, qui reste fini ainsi que pw sur la droite d’intégration. Or on a encore

p(to') = e-i et p(w + ü/) = e2.

Donc s’annule aux deux limites d’intégration. Il en est de même de ^ 11 reste donc

, (O-f-tO' COH-to'

( ! 48 ) (hi — h.2) Nj N s dw — o ou / Ni N2 dw — o,

si les deux racines sont distinctes. Cette dernière équation rappelle celle des polynômes sphériques et nous allons en déduire la démonstration cherchée.

En effet, l’équation caractéristique est à coefficients réels. Si elle admet la solution imaginaire hK ■= h - j- ih\ elle admettra aussi la solution h2 = h' — ih". Considérons alors les polynômes Nj et N2 correspondants. Ils contiennent des imaginaires, puisque a, au moins les contient, étant linéaire en h. Ils sont donc imaginaires conjugués. On aurait alors

' N"2) dw — o.

ou'

Tous les éléments de l’intégrale seraient alors réels et positifs^ car on peut écrire

w = ü/-j- dw = 10 d%,

et £ varie de o à i .

Dans ce cas l’intégrale ne saurait être nulle. Donc il ne peut pas y avoir de racines imaginaires.

Nous verrons encore plus loin que les valeurs de h sont distinctes. Nous verrons de plus que les fonctions N obtenues sont linéairement indépendantes et cela au moyen de la même intégrale.

52. Formation effective des fonctions de Lamé. — i° Pour n — i , il y a 2 n — {— i = 3 fonctions de Lamé qui sont

R = sjjpu — ei, R = \Jpu — e2, R = \J$u — ez

et trois autres fonctions analogues pour M et N.

Formons le produit RMN, avec les trois premières fonctions par exemple, on a

RMN = y/p 11 — V P p y/p w — e±= Car,

à une constante près. Or Cx vérifie bien l’équation AV = o, on vérifie ainsi que le produit considéré y/ pu — e, y/y>p — e, y/ pw — e, est un produit de Lamé et chacun des radicaux est bien une fonction de Lamé.

2° Pour n = 2, on a 211 + 1 = 5. Nous aurons cinq fonctions en R, en M, en N et cinq produits de Lamé.

Formons d’abord ceux delà classe III, ce sont :

R = VP u — c-1 y/ p u — e-1,

R — y/p u — e2 y /pu — e3,

R — V P lt — e3 y/p w — e± .

Le produit RMN correspondant à la première expression sera

RMN = y /-pu — é± y/pp — e 1 y/ppp — ex . yp« — e.2 y/ pp — e, y/ppp — e2 = Cxv;

C xy est une fonction qui vérifie bien AV — o. Le produit RMN d’où dérive Cxy est bien un produit de Lamé, et les facteurs sont des fonctions de Lamé.

Les fonctions de Lamé de la classe I sont moins évidentes. On a ici 2 k = n — 2, c’est-à-dire k = 1. Or le polynôme R en pu doit satisfaire à la relation ( 1 4 1 ) qui devient

£it = (6P« + A)R.

Posons

Rf;p“ + tt» dou ^ =p « = 6p2— -^2-

On doit avoir identiquement

Ce qui donne les relations

G oc -+- h — o,

yJi =