CHAPITRE VI. — FONCTIONS DE LAMÉ

L’équation caractéristique est donc k- — 3g.2, d’où On a ainsi les solutions

AI. = po ± - v' ïffi-

N = pw± - v/3 g.

et les deux produits de Lamé correspondants. Considérons par exemple le produit

RMN =

5 fi *') (JW-

En l’exprimant au moyen de x, y , z on doit retrouver un polynôme harmonique du second degré.

On peut d’ailleurs trouver ce polynôme par un calcul direct. Partons en effet de l’identité fondamentale (120) où nous posons, comme on l’a déjà vu n° 48,

On obtient

a — eL a — e% a — e3 (a — 61) (a — e2)(e — e3)

Déterminons maintenant a de manière que le premier membre soit un polynôme harmonique, c’est-à-dire tel que AV = o, en désignant par V le premier membre. On aura

ou

Mais e,, eL>, <?3 sont racines de l’équation

4 s3 — gïS — g 3=0;

on a donc

-T- e2-h e;i = o, eié2-f- e2e3-f- <?i =

et l’équation en a devient

3*'=ï*« * = =Fë^gf

142 figures d'équilibre d’une masse liquide en rotation.

On retrouve ainsi les mêmes valeurs de a que celles qui sont racines de l’équation caractéristique. En substituant cette valeur de a dans le second membre de l’identité, on a un produit de la forme RMN, la même que ci-dessus, et qui est nécessairement une solution de l’équation de Lamé. Donc chacun des facteurs est également une fonction de Lamé.

3(> Pour n = 3, on a sept fonctions de Lamé du troisième ordre. On a ici n == 3 = 2 k -h 1 et k — 1 . On aura donc deux fonctions de Lamé pour chacune des trois formes II et une de la forme IV. La solution de la forme IV est immédiate :

R — y/p u — ei y fpu — e2 y/pn — e-i, RMN = C xyz.

Pour avoir les solutions de la classe II, on peut partir de l’identité fondamentale en multipliant les deux membres par

x — C y/p u — ex y/p u — e.2 \/ p u — e:].

On a

x:î xy 2 xz-