CHAPITRE VI. — FONCTIONS DE LAMÉ

53. Analogie des fonctions de Lamé et des fonctions sphériques. — Gomme pour les fonctions sphériques, il y a 2/1-f- 1 fonctions de Lamé d’ordre n. On peut montrer que l’analogie se poursuit très loin et que les fonctions sphériques sont des cas limites particuliers des fonctions de Lamé.

Nous avons défini plus haut un point de l’espace par l’intersection des trois surfaces homofocales de paramètres p, p, v. Soient x, y, z les coordonnées d’un point quelconque de l’ellipsoïde p. Faisons le changement de variable suivant :

(i5o) x == X\ \/p2 — a -, y = yt y/p2 — b-, Z\ Vp2 — c2.

Le point x, , JKi, zlf ainsi défini, satisfait à la relation

xl + yj+yj — i = o,

c’est-à-dire que si p et v varient (en restant dans leurs intervalles de variation), x, y, £ décrit l'éllipsoïde et x,, y4, z, décrit une sphère. Nous avons donc effectué, par ce changement de notation, la transformation homographique qui fait correspondre la sphère à l’ellipsoïde.

En remplaçant x , y, z par leurs valeurs (121) on obtient

(p2— ag)( V2— a1)

1 ( b% — cC- ) ( c- — a2)’

(p*- 6*)(v*-fel)

Ces valeurs vérifient bien la relation = 1 . Le point

se trouve donc sur la sphère de rayon 1 . En prenant sur cette sphère le système de coordonnées polaires en Q et <p, 011 pourra encore écrire

(102) Xi = sinO cos ©, yi = sinO sincp, -1=cosO.

Les coordonnées x, , yt , z, sont donc à la fois des fonctions symétriques de p et v et des fonctions de 0 et <p.

Considérons alors le produit MN de deux fonctions de Lamé correspondantes, d’ordre n. Ce produit MN sera une fonction de p, v, qu’on pourra également exprimer en fonction de 0 et de cp. Cette fonction de Q et de <p sera une fonction sphérique.

En effet, considérons le produit RMN de trois fonctions correspondantes de Lamé d’ordre n. Soit Q„ (x, y, z) le polynôme harmonique correspondant, ordonné en groupes homogènes

Remplaçons x} y, z par leurs valeurs en a?,, y, , z, ; alors RMN peut s’écrire en mettant en évidence l’homogénéité des groupes P

RMN = p» P„ +-fn-l P„, ( -

s= P 11 P,. — SI

- sinO cosc,

sin 0 sin cp,

cos 0

Divisons tout par pn, il vient

Ain m p /,

sin 0 cos 9,

— — sinO sine

-cesO^-j- IlL

Si maintenant p augmente indéfiniment, — tend vers i , ainsi que les

radicaux. II est un polynôme qui reste fini. On a donc

(r53) MN = P„(sinOcoso, sinGsino, cosO).

Or MN est un polynôme harmonique homogène dans lequel on a remplacé x, y , z par les coordonnées d’un point sur la sphère. C’est donc une fonction sphérique