CHAPITRE VI. — FONCTIONS DE LAMÉ

o 4. Développement d’une fonction <I>(p, c) sur l’ellipsoïde en une somme de produits de Lamé. — Nous venons de voiries relations qui existent entre les fonctions et les produits de Lamé d’une part et les fonctions sphériques d’autre part. Un produit de Lamé tel que MN n’est autre chose qu’une fonction sphérique, avec changement des variables p, v en 0, cp.

De même le Y„ (0, <p) le plus général pourra s’exprimer par une somme des 2 n + i produits M/2Nn. On aura donc

Or une fonction quelconque de 9 et de © comme <I>(0, cp), c’est-àdire une fonction de. deux angles, peut être développée, sous certaines conditions, en une somme de fonctions Y*. En effectuant le changement de variables qui fait correspondre les (9, cp aux p., v, la fonction <ï>(0, cp) deviendra une certaine fonction de p, v et les Y„ deviendront des sommes de produits MN, car chaque fonction Y„ se trouvera remplacée par une somme dépendant en général de 2 »-f i produits M,*N/(. On aura donc

où l’on fait la sommation d’abord par rapport aux «, ce qui reconstitue la fonction Y„, puis par rapport aux n , ce qui donne la série.

Considérons en particulier l’ellipsoïde défini par une certaine valeur de p, donnée par les formules qui lient les x , y , ^ aux xx, y,, Z\. Il suffira d’exprimer les x, y, z en fonction de p. et de v pour obtenir cette relation. Cela revient à dire qu’à toute valeur de p. et de v correspond un seul point de l’ellipsoïde p donné et réciproquement.

Si maintenant nous considérons une fonction <î> donnée sur l’ellipsoïde, c’est-à-dire n’ayant qu’une valeur en chaque point de cet ellipsoïde, est une fonction de p. et de v, et d’après ce que nous venons de démontrer, <ï> sera développable en une série de produits de Lamé, qui sera aux notations près une fonction sphérique.

APPELI.; — IV. 10

Remarque. — Si sur une sphère on prend une fonclion <I> de 5 et de 9 qui est un polynôme en x , r, s, on peut la développer suivant les fonctions Yn et l’on a alors un développement limité <1> = Y0 + Yi+. . . + Y„.

Faisons le changement des variables de 0, 9 en p, v. Un polynôme en x, y , z devient un polynôme par rapport aux quantités

•{jl, v, ^/[jl2 — a -, y'p2 — b-, s/ y1 — c-, yV2 — a -, y/v2 — b-, ^/v2 — c-.

De plus, ce sera un polynôme symétrique qui, sous sa forme la plus générale, comprendra également huit sortes de termes, combinaisons des précédents

Inversement, en repassant aux coordonnées 0 et 9, un tel polynôme se transformera en un polynôme en sin0cos9, sin0sin9, cos0. En l’exprimant en produits de Lamé, ce polynôme admettra donc un développement fini et l’on aura

55. Cas de dégénérescence. — Au point de vue géométrique on peut se demander quelle est la nature de ces coordonnées p et v à l’aide desquelles nous avons pu exprimer symétriquement les coordonnées d’un point de la sphère. Il est facile de voir qu’elles représentent sur la sphère un système de coniques sphériques homofocales

comme on a a'2^> p2 "> b-> v2^> c2, les signes des trois termes du

premier cône sont F -F et ceux du second j— Pour le

premier on a des ellipses réelles en le coupant par le plan x — const. et pour le second en le coupant par le plan z = const. Le point M, de la sphère a pour coordonnées les paramètres des deux ellipses homofocales qui passent par M, {fig. 33).