CHAPITRE VI. — FONCTIONS DE LAMÉ

Le cas limite des coordonnées homofocales est constitué sur la sphère par le système des coordonnées polaires. Ce sont précisément ces cas de dégénérescence que nous allons examiner. Ils se produisent quand deux des quantités a, ù, c deviennent égales. Tant qu’elles sont inégales, on a de véritables coordonnées homofocales.

Premier cas : a = b. — Nous allons procéder par continuité et supposer d’abord a et b très voisins avant de les faire se confondre, et nous étudierons ce qui se passe quand ils Lendentl’un vers l’autre. On a a2>p.2>ù2, on pose b-— a2 — £ et \x2=a2 — £p/2, où p/

varie de o à i et £ tend vers o. Voyons successivement ce que deviennent les expressions de x , jp, z. On a

On a b2 — a2 — — £, et p.2 — b2 — £ (i — p/2), les autres b tendent vers a, il vient

Ici, p.2 — a 2 = — £p/2 et a2 — b2 = s, il vient

De même

y .= vV2 — a~

On aura de même, avec p‘- — c2= ci- — c2,

Or, posons d’où

puis

et

enfin

(iô7) sin9=y/|

Les expressions ci-dessus x , y, z s’écriront, en coordonnées analogues aux coordonnées polaires, en 9 et 9, sous la forme

(i58) -a; = r'i sino cos 9. y = sinO sin o, cos 0.

En faisant a = 6, nous avons obtenu un ellipsoïde allongé de révolution autour de O 3. On aura alors

(108') ^ = tango;

9 désigne donc l angle du méridien du point M avec le plan zOx. Quant à 9 , c'est une variable analogue à la latitude de la sphère.

Ainsi les produits de Lamé à deux ternies, qui sont dans le cas général des fonctions de p et v, et aussi des fonctions sphériques, se trouvent ici exprimés directement en fonction de 9 et de 9. Autrement dit, MN = /’(p) /('■>) vérifie l'équation des fonctions sphériques. C’est réellement une certaine fonction Y„ quand b tend vers a. A lalimite /(p) devient J\ (p7), en divisant s'il y a lieu par une certaine puissance de £ en facteur; par conséquent n’est plus la même fonction que /, mais aura une expression analytique différente. Le produit MN=/,(p')/(v) n’est plus symétrique en p7 et v.

Cette limite

/ (H8- *)(•>*- fl - /'±Zl

cos 0 = v 1 — sin2 0 :

MN =/,(,u)/(v)= F1(?)F(0) = Y„(0: ?)