CHAPITRE VI. — FONCTIONS DE LAMÉ

est donc une fonction sphérique, décomposée en un produit de deux facteurs. Or nous avons trouvé que les fonctions sphériques qui se présentent ainsi sont de la forme

où XJ est fonction uniquement de 9 et donné par l’expression (io5)

11 s’ensuit donc que M» tendra vers siny?cp ou vers cosy>© et N vers X£. Nons avons d’ailleurs 2 n -f- 1 produits MN et chacun d’eux tendra vers l’un des produits Xg’sinyxp ctX^cosyxp.

06. Détermination des fonctions de Lamé dans le cas de dégénérescence. — Il faut étudier comment se comportent à la limite les types de nos quatre classes distinguées plus haut.

i° n peur. Fonctions de la première classe. — On a alors M=/(p2) et N = /(v2). Nous avons vu qu’à la limite M devient un certain polynôme/, (p'2) en pJ2= cos2cp, c’est-à-dire

D’autre part, nous venons de voir que cette valeur de M est cosyxp ou siny?cp. Cette dernière solution ne convient pas, car sin/?<p est une fonction impaire. De plus, il faut que p soit pair pour avoir cos y? 9 = /, (cos2cp). Les valeurs limites de M sont donc

(160) COSO = I, COS 2 O, COS 4 9, . COS2/C9 = COS/l 9.

Il y a A* — f— 1 valeurs si n = 2k. Les fonctions N correspondantes sont à la limite

(iô9) x/u $iny> 9? x'n cos y? 9 (p = 0,1,2,..., n),

Cherchons de même ce que deviennent à la limite les équations