CHAPITRE V. — ÉQUILIBRE d’uN POINT; ÉQUILIBRE d’uN SYSTÈME. l

premier Chapitre. Par exemple, on pourra chercher à réduire ces vecteurs à l’aide des opérations élémentaires, et exprimer qu’on obtient finalement deux vecteurs égaux et directement opposés, ou encore une résultante générale nulle et un mornerit résultant nul.

Exemples. — i° Imaginons de l’eau en équilibre dans un vase, sous l’action de la pesanteur. Le système considéré est constitué par les particules de l’eau. Les forces intérieures sont les actions mutuelles entre ces particules. Les forces extérieures sont les actions exercées par des corps étrangers au système sur les points du système; ce sont par suite : i" les poids des particules d’eau; 2° les actions des parois du vase sur les particules d’eau qui les touchent; 3" les pressions exercées par l’air sur la surface libre. Pour qu’il y ait équilibre, il faut que l’ensemble de toutes ces forces extérieures constitue un système de vecteurs équivalent à zéro.

2° Imaginons une chaîne pesante suspendue par ses deux extrémités à deux points fixes A et B. Les forces extérieures appliquées à la chaîne sont ; 1° les poids de ses divers anneaux; 2° les actions exercées parles points fixes A et B; la chaîne tire sur ces points, et réciproquement ces points agissent sur la chaîne avec des forces Fa et Fb appliquées aux extrémités de la chaîne. Pour qu’il y ait équilibre, il faut que ces forces extérieures soient équivalentes à zéro. Les poids forment un système de vecteurs parallèles équivalent à un vecteur unique, P, égal au poids de la chaîne et appliqué à son centre de gravité; les trois vecteurs P, Fa et Fb doivent alors former un système équivalent à zéro.

3° Corps solide. — Si le système considéré est un corps solide, les six conditions d’équilibre que nous venons d’indiquer comme nécessaires pour un système quelconque sont aussi suffisantes : c’est ce que nous verrons dans le Chapitre suivant,

9o. Fraction d^un système quelconque; six conditions nécessaires de Péquilibre. — Dans un système matériel S, détachons par la pensée une partie quelconque du système S^, de telle sorte que ce système soit divisé en deux parties, les points de S^ et les points restants constituant un système (S — S^). Si le système total est en équilibre, il en est de même de chacune de ces parties, de Si par exemple. On pourra alors appliquer ce qui précède à la partie Si regardée comme un système en équilibre. Les forces extérieures à Si, appliquées à Si, doivent former un système de vecteurs glissants équivalent à zéro. On obtient ainsi, en prenant successivement diverses parties du système total, des conditions d’équilibre toutes nécessaires.

DEUXIEMK PARTIE. — STATIQUE.

EXERCICES

1. Si n forces concourantes se font équilibre, leur point commun d’application est le centre de gravité de n points de masses égales placés à leurs extrémités (Leibniz).

2. Positions d’équilibre d’un point libre M attiré par des centres fixes Op Oj, ..., 0„ en raison inverse de la distance. Il existe une fonction des forces logMOi.M02. . .MO„. Chaque position d’équilibre O' est le centre des moyennes distances des inverses des points par rapport à O'. Quand les points O^. sont dans un même plan, les positions d’équilibre sont les racines de la dérivée d’un polynôme en z ayant ppur racines les quantités imaginaires représentées par les points 0^.. (Chasles : Voir F. Lucas, Comptes rendus, 1879 et 188S.)

3. Soit un point M en équilibre dans une position déterminée A sous l’action de forces déterminées Pj, Pj, ...^ P„; sur AP^. on prend un point Oj. tel que

AOj== (APj)*', h et V désignant des constantes ( c ^ — 1). Démontrer que la foncc+i (^+1 e+l

tion MOj -4- MO2 est maximum ou minimum quand le point M

coïncide avec la position d’équilibre A. Si v— — i, il faut remplacer cette fonction par log MOj.MOj. . .MO, ^ Si u = i, le point A est le centre des moyennes distances des points Oj,.

4. Positions d’équilibre d’un point pesant mobile sans frottement sur une hélice tracée sur un cylindre de révolution d’axe vertical et attiré par un point de l’axe proportionnellement à la distance.

Réponse. — Une position d’équilibre stable.

5. Positions d’équilibre d’un point M mobile sans frottement sur une circonférence de rayon a, sollicité par une force dont la direction passe par un point fixe A de la circonférence et dont la valeur algébrique estimée en prenant AM

comme sens positit est i —

AM

Réponse. — Trois positions d’équilibre : deux pour lesquelles AM = a, une pour laquelle AM =: 2a; les deux premières stables, la troisième instable.

6. Étant donnée une force F dont les projections X, Y, Z dépendent de jk? ^5 trouver une surface S telle qu’un point mobile sans frottement sur cette surface et soumis à l’action de F soit en équilibre dans toutes les positions sur la surface S.

Réponse. — Il doit exister un facteur p. tel qu’on ait

p. ( X cfo; 4- Y efu + Z ) = c?/( x,y., z)\

les surfaces cherchées sont/(a?, y, .s) = const. ; s’il existe une fonction de forces, les surfaces cherchées sont les surfaces de niveau.