CHAPITRE V. — ÉQUILIBRE d’uN POINT; ÉQUILIBRE d’UN SYSTÈME. l

G bis. Trouver de même des courbes sur lesquelles le point est en équilibre dans toutes les positions.

(Ces courbes existent toujours : elles sont assujetties à vérifier l’équation X dx H- Y dy + Z dz — o,

<jui permet de prendre arbitrairement a; et y en fonction d’un paramètre q et de déterminer ensuite z.)

7. Un point M sollicité par une force F peut glisser sans frottement sur une courbe fixe dont les coordonnées sont exprimées en fonction d’un parahaètre q. On mène à cette courbe la tangente MT dans le sens des <7 croissants. Démontrer que le cosinus de l'angle TMF a le signe de la fonction appelée Q (n° 92); en conclure que, pour qu’une position d’équilibre q =. q^ soit stable, il faut et il suffit que la fonction Q s’annule en passant du positif au négatif quand q atteint et dépasse la valeur q^.

8. Positions d’équilibre d’un point mobile M posé sur la surface extérieure d’un ellipsoïde et repoussé par un point fixe proportionnellement à la distance. (Le point M pouvant quitter la surface vers l’extérieur; il faut tenir compte du signe de X. Si P est extérieur à l'ellipsoïde, une position d’équilibre instable; s’il est intérieur, pas de position d’équilibre. Géométriquement, le problème revient à mener du point P des normales à la surface; il faut ensuite choisir parmi les pieds des normales.)

9. Un point mobile sur une parabole y"^ — 'ipx — 0 est attiré par un point fixe {a, b) du plan de la courbe proportionnellement à la distance. Positions d’équilibre. Stabilité. On a

Les ordonnées des positions d’équilibre (pieds des normales issues de a, b) sont les valeurs de y annulant la fonction 4>(jk) = IJ- valeurs

•qu’on trouverait en cherchant à rendre maximum ou minimum la fonction

[{a — xy-h{b—y)-\

exprimée en fonction àe y. Il y a stabilité quand cette fonction est maximum.

10. Aux trois sommets A, B, G d’un triangle, on attache des fils élastiques dont les longueurs naturelles sont a, p, y; on les allonge pour les attacher ensemble en un nœud et l’on suppose que la force élastique de chaque fil est proportionnelle

à son allongement par unité de longueur ^par exemple, x étant l’allongement du

A* oc \

premier fil, sa force élastique est k est le même pour les trois filsj. Quelles

relations faut-il établir entre les trois longueurs a, p, y pour que la position d’équilibre du nœud se trouve au centre de gravité du triangle?