CHAPITRE VI. — ÉQUILIBRE d’üN CORPS SOLIDE

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point application d’une force en un point quelconque de sa direction, pourvu que ce nouveau point soit invariablement lié au solide.

Une force appliquée à un solide est donc représentée par un vecteur localisé sur une droite, ou vecteur glissant.

Nous allons montrer comment on peut réduire à des éléments simples un ensemble de forces appliquées à un solide et en déduire les conditions nécessaires et suffisantes d’équilibre.

97. Réduction des forces appliquées à un corps solide. Équilibre. — D’après ce qui précède, on ne change pas l’état d’un solide en effectuant les opérations élémentaires suivantes :

Adjonction ou suppression de deux forces égales et directement opposées; transport d’une force en un point de sa direction.

Composition de plusieurs forces concourantes en une seule, ou décomposition d’ une force en forces concourantes.

Nous avons vu que tous les systèmes de vecteurs glissants obtenus à l’aide de ces opérations sont équivalents, c’est-à-dire ont même résultante générale et même moment résultant; et que, réciproquement, deux systèmes de vecteurs glissants équivalents peuvent se ramener l’un à l’autre par ces opérations. Donc, deux systèmes de forces représentés par des systèmes de vecteurs glissants équivalents peuvent être remplacés l’un par V autre sans changer l’ état du solide.

Réduction à deux forces. — Gomme nous l’avons démontré dans la théorie des vecteurs, un système (S) de forces appliqué à un corps solide peut être réduit, par les opérations élémentaires, à deux, F et <E>, dont l’une est appliquée en un point pris arbitrairement.

Réduction à une force et à un couple. — D’après ce que nous avons vu dans la théorie des vecteurs, un système quelconque de forces (S) peut êtré remplacé par une force unique R égale à la résultante générale appliquée en un point arbitraire O et un couple dont l’axe est égal au moment résultant OG par rapport au point O.

l38 DEUXIÈME PARTIE. — STATIQUE.

Equilibre. — Pour qu’il y ait équilibre, il faut que le système (S) soit équivalent à zéro, c’est-à-dire que la résultante générale OR et le moment résultant OG soient nuis. Cette condition est suffisante : en effet, si elle est remplie, les forces peuvent, par les opérations élémentaires, être réduites à un couple dont l’axe OG est nul, et qui est par suite formé de deux forces égales et directement opposées.

Equations équilibre. — Appelant X, Y, Z les sommes des projections des forces sur les trois axes, L, M, N les sommes de leurs moments par rapport aux trois axes, on a les six équations d’équilibre nécessaires et suffisantes

98. Systèmes de forces équivalents pour un solide. — Nous avons vu dans le numéro précédent que, si deux systèmes de forces appliqués à un solide sont représentés par deux systèmes de vecteurs glissants équivalents, ils peuvent être remplacés l’un par l’autre sans changer l’état du corps.

Réciproquement, si deux systèmes de forces (A) et (B) peuvent être remplacés l’un par l’autre sans changer l’état du corps, ils sont représentés par deux systèmes de vecteurs glissants équivalents.

En effet, considérons le système ( — A) composé de toutes les forces de (A) changées de sens. Ce système ( — A) est évidemment tenu en équilibre par le système (A); il l’est donc aussi par le système (B) qui par hypothèse produit le même effet que (A). Donc, l’ensemble des vecteurs ( — A) (B) est équivalent à zéro :

ou encore le système de vecteurs (A) est équivalent au système (B).

Quand deux systèmes de forces (A) et (B) peuvent être remplacés l’un par l’autre sans changer l’état d’un solide, on dit qu’ils sont équivalents pour un solide. On voit que la condition nécessaire et suffisante pour que deux systèmes de forces soient équivalents pour un solide est qu’ils soient représentés par écs systèmes de vecteurs glissants équivalents.

99. Cas particuliers de la réduction. — Pour que le système (S)