III. — SUITE DES APPLICATIONS. FORCES QUELCONQUES DANS L’ESPACE

106. Exemples d’équilibre. — i” Des forces appliquées aux centres de gravité A', B', C', D' des faces d’un tétraèdre ABGD, proportionnelles aux aires des faces et dirigées normalement à ces faces, toutes vers l’intérieur, se font équilibre. En effet, ces forces sont, par rapport au tétraèdre A'B'G'D' ayant pour sommets les centres de gravité des faces du premier, dans la position indiquée à la fin du n° 100. On conclut de là que des forces appliquées aux centres de gravité des faces d’un polyèdre, proportionnelles aux aires des faces et dirigées normalement aux faces, toutes vers l’intérieur, se font équilibre. Il suffit de A. - I.

décomposer le polyèdre en tétraèdres et d’appliquer à cet ensemble de tétraèdres un raisonnement identique à celui qui a été employé à la fin du premier exemple du n" 102.

Gomme cas limite on voit que, si l’on prend une surface fermée et si l’on applique à chaque élément superficiel infiniment petit une force normale proportionnelle à cet élément, on obtient un système en équilibre.

2° Des couples dont les axes sont proportionnels aux aires des faces d'un polyèdre et dirigés normalement à ces faces, tous vers l'intérieur, se font équilibre. En effet, la somme des projections des axes de ces couples sur une direction quelconque est nulle.

107. Conditions pour qu’on puisse diriger suivant trois, quatre, cinq, six droites des forces en équilibre. — Cherchons comment doivent être situées dans l’espace trois ou quatre, ou cinq, ou six droites, pour qu’on puisse diriger suivant ces droites des forces se faisant équilibre. Nous ferons d’abord la remarque suivante : lorsque plusieurs forces Fj, Fa, ..., F„ se font équilibre, la somme de leurs moments par rapport à un axe quelconque est nulle; donc, si l’on peut mener un axe A s’appuyant sur les directions de (/i — i) des forces, le moment de chacune de ces forces étant nul, le moment de la dernière force est nul aussi, et l’axe A rencontré également la direction de cette dernière force, à distance finie ou infinie. Cette propriété a même lieu pour un axe A imaginaire, quoiqu’on ne puisse plus parler de moments par rapport à cet axe : en eft’et, soient {x' , y' , z') et (x", y", z") deux points réels ou imaginaires, A l’axe joignant ces deux points, et X/^, Y/^, Z/,, L/,, M^, N/^ les projections et les moments d’une force F/,- appliquée au point Xk, y/c, z^. La condition pour que l’axe A et la force F/,, soient dans un même plan s’obtient, d’après les formules élémentaires de la Géométrie analytique, en écrivant que la quantité

(a?"— x')Lk-^ {y" — y')Mk-h (z"— .s')N/,-+- (y'z"— z'y")X/,

H- (z' x"— x'z")Y/^-h (x' y" — y' z”)Zk

est nulle. Les forces Fj, F2, . . . , F„ se faisant équilibre, la somme

OÏL 1 -h OIL2 -j- . . . H- OlL/i

est évidemment nulle : si donc les quantités OlLi, OIL2, ..., OlL^-i sont nulles, c’est-à-dire si l’axe A rencontre les (ti — i) premières forces, la quantité OlL^j est aussi nulle, et l’axe A rencontre aussi la dernière force à distance finie ou infinie. Si le point x' , y' , z' est réel, la condition 0rL/,;= o signifie que le moment de F/^ par rapport à ce point est normal à A.

1° Trois droites. — Supposons que suivant trois droites on ait dirigé trois forces en équilibre. Tout axe s’appuyant sur deux de ces droites devra s’appuyer sur la troisième. Les trois droites sont donc nécessairement dans un même plan : si deux d’entre elles sont concourantes, la troi~