CHAPITRE VI. — ÉQUILIBRE D’uN CORPS SOLIDE

sième doit passer par leur point de concours ; sinon, les trois droites sont parallèles. Ces conditions sont nécessaires. Si elles sont satisfaites, on peut évidemment diriger suivant les trois droites des forces en équi-

•2” Quatre droites. — Supposons que, suivant quatre droites, Dj, D2, D3, D;, on ait dirigé quatre forces se faisant équilibre. Tout axe A s’appuyant sur trois de ces droites doit rencontrer la quatrième. Si donc nous nous plaçons dans le cas général, où il n’existe pas de plan contenant à la fois deux des droites, la surface réglée du second ordre (hyperboloïde ou paraboloïde), engendrée par un axe A s’appuyant sur trois des droites, devra admettre la quatrième comme génératrice du même système que les trois premières. On a ainsi la eondition nécessaire indiquée par Mobius : il faut que Di, D2, D3, Dj;. soient quatre génératrices d’un même système d’une surface du second ordre. Pour établir que cette condition est suffisante, nous emprunterons à M. Darboux la démonstration suivante (Note insérée dans le premier Volume de la Mécanique de Despeyrous; Hermann, éditeur) :

Prenons sur un hyperboloïde quatre génératrices Dj, D2, D3, D4 d’un même système : par un point A de L’espace ifig, 68), menons des paral-

lèles Al, A2, A3, A4, à ces génératrices; appliquons sur A4 une force et soient Fj, F'2, F3 les composantes suivant les droites Ai, A2, A3 d’une force égale et contraire à F^ appliquée au point A. Les quatre forces F\, F'2, F'g, F'4 ainsi obtenues ont évidemment une somme géométrique nulle. Transportons maintenant ces forces parallèlement à elles-mêmes sur les droites Di, D2, D3, D4 en Flî ^2? ^3, ^4* Ces quatre nouvelles forces se font équilibre : en effet, leur résultante générale est nulle; leur moment résultant est donc le même par rapport à tous les points de l’espace. Ce moment résultant est ou bien nul, ou bien perpendiculaire à toutes les génératrices A du second système de l’hyperboloïde, car, chacune de ces génératrices A rencontrant les quatre droites Dj, D2, D3, D4, la somme des

libre.

Fig. 68.

f.18 DEUXIÈME PARTIE. — STATIQUE.

moments par rapport à A, c’est-à-dire la projection du moment résultant sur A, est nulle.

Le moment résultant est donc nul, puisqu’il ne peut pas être perpendiculaire à toutes les génératrices d’un même système d’un hyperboloïde, ces génératrices n’étant pas parallèles à un même plan. Il y a donc équilibre.

Si les quatre droites Dj, D2, D3, D4 sont des génératrices d’un même système d’un paraboloïde hyperbolique, les droites auxiliaires Ai, A2, A3, A4 sont dans un même plan. On peut alors, en procédant comme dans le cas précédent, placer sur les trois premières droites Di, D2, D3 trois forces dont la résultante générale est nulle et dont le moment résultant de longueur a, le même pour tous les points de l’espace, est dirigé perpendiculairement à toutes les génératrices A du second système, c’està-dire perpendiculairement au second plan directeur. On peut de même placer sur Di, D2 et D4 trois forces ^2, gki dont la résultante générale est nulle et dont le moment résultant est normal au second plan directeur, c’est-à-dire a même direction que a. Si l’on place sur les quatre droites les forces

Fl = -f- F2 = -1- [A^2i F3=Xy3, F4=[J.^4,

obtenues en superposant les forces du premier système multipliées par /. à celles du second multipliées par jx, la résultante générale est nulle et le moment résultant perpendiculaire au second plan directeur est \a-\- \j.b. On peut disposer du rapport de X et de [x, de façon que ce moment soit nul : les quatre forces se font alors équilibre.

3° Cinq droites. — Si, suivant cinq droites Dj, D2, D3, D4, D5, on peut diriger cinq forces se faisant équilibre, toute transversale rencontrant quatre d’entre elles doit rencontrer la cinquième. Il existe deux droites réelles ou imaginaires A' et A" rencontrant Di, D2, D3, D4; en effet, les droites A s’appuyant sur Dj, D9, D3 engendrent une surface du second ordre S, que la droite D4 rencontre en deux points réels ou imaginaires p’ et /?"; les deux génératrices de S du système A, passant par ces deux points, forment deux transversales rencontrant les quatre droites Dj, D.,^ D3, D4. Ces deux transversales A' et A" doivent rencontrer également Dg, Il faut donc qu’il existe deux droites s’ appuyant à la fois sur les cinq droites données, ou, d’après le langage de la Géométrie des droites, que les cinq droites appartiennent à une congruence linéaire. On montre, ;par un raisonnement identique au précédent (cas du paraboloïde), que Iq condition est suffisante.

4° Six droites. — Pour que suivant six droites on puisse diriger des forces se faisant équilibre, il faut et il suffit qu’elles appartiennent et un complexe linéaire.

Employons une méthode analytique due à Mobius et Somoff. Sur l’une des six droites D/^ prenons, dans un sens déterminé, un segment de