CHAPITRE VI. — ÉQUILIBRE d’üN CORPS SOLIDE. l5l

sant par l’origine. Les équations (i) montrent alors que la réaction (X', Y', Z') est égale et opposée à cette résultante (X, Y, Z), qui n’est donc autre que la pression sur le point fixe.

Prenons le cas particulier d’un levier soumis à deux forces seulement Fj, F2 ; pour qu’il y ait équilibre, il faut et il suffit que ces forces soient tenues en équilibre par la réaction Q du point O. Les trois forces Fi, F2, Q devant se faire équilibre, il faut que F<, F2 soient dans un même plan avec O et que la somme des moments des forces F), F2 par rapport à O soit nulle; c’est la condition élémentaire bien connue de l’équilibre du levier.

110. Corps ayant un axè fixe. — Soient F2, ..., F„ les forces qui agissent sur le corps solide; celui-ci exercera sur les divers points de l’axe des pressions P', P", P'^^, ..., et l’axe exercera à son tour des réactions Q', Q", .... Le corps pourra

être considéré comme libre, mais sollicité par les forces F<, F2, . . . , F;i, Q', Q'', .... Pour qu’il y ait équilibre, il faut, en particulier, que la somme des moments de toutes ces forces, par rapport à l’axe fixe que nous prenons pour axe des z, soit nulle. Et comme les moments des réactions Q', Q'', ... sont nuis, il faut qu’on ait

C’est une condition nécessaire de l’équilibre. Elle est suffisante; en effet, si elle est remplie, les forces se réduisent à une résultante générale OPv, qui est détruite par la résistance de l’axe et un couple dont l’axe OG est perpendiculaire à Oz, puisque N est nul. On peut faire tourner ce couple dans son plan, de façon que son bras de levier coïncide avec l’axe; alors les forces cpcp' qui le constituent, étant appliquées en des points de l’axe, sont détruites par sa résistance; le corps est donc bien en équilibre.

Le problème que nous venons de traiter donne les conditions d’équilibre d’un treuil.

Calculons maintenant les réactions de l’axe. On peut toujours admettre que la fixité de l’axe a été obtenue en rendant invariables deux de ses points, O, O’. Ces points exerceront sur le solide des réactions Q', Q''. Prenons le point O pour origine. Désignons jiar X, Y, Z, L, M, N les mêmes éléments que précédemment, et par X', Y', Z', X’’, Y", Z’’ les projections des réactions Q', Q^’. Soit h

STATIQUE

la distance 00^ Nous aurons les conditions d’équilibre {fig- 70)

Xh-X'-i-X"=o, Y-+-Y'-4-Y"= o, Z-f-Z'H-Z"=o,

L — JiY' =0, M -4- /iX" = O, N = O.

La dernière de ces équations est indépendante des réactions : c’est la condition nécessaire et suffisante de l’équilibre. Les deux

équations précédentes donnent X’' et Y''. Portant alors dans les deux premières, on calcule X' et Y'; mais TJ et Tl' ne sont assujetties qu’à la condition unique

et il est impossible de calculer complètement les réactions.

Au point de vue physique, les réactions Q', Q" sont cependant bien déterminées ; mais les solides naturels ne possèdent pas les propriétés qu’on suppose aux corps solides en Mécanique rationnelle : ils sont déformables et leur déforrnatiou met en jeu des forces élastiques; en tenant compte de ces forces, on peut déterminer complètement les réactions.

IIL Corps tournant autour d’un axe et glissant le long de Taxe.

— Dans ce cas, les réactions Q', Q'^, Q''', ... de l’axe sur le corps sont normales à l’axe : en prenant l’axe pour axe Oz, on a les deux conditions d’équilibre