CHAPITRE VI. — EQÜILIBÜE D UN CORPS SOLIDE

cas où le corps ne s’appuie que par un point sur le plan fixe; le plan exerce sur le corps une réaction normale, si nous supposons que le corps peut glisser sans frottement. Le corps peut être considéré comme libre, mais soumis aux forces F^, Fo, . . . , F„, qui agissent directement sur lui, et à cette réaction Q. Pour que le corps soit en équilibre, il faut que les forces F aient une résultante unique égale et directement opposée à Q i^fig. 71 ), c’est-à-dire

Fig. 71.

que les forces données aient une résultante passant par le point d’appui, normale au plan et dirigée de façon à appliquer le corps sur le plan. Ces conditions sont évidemment suffisantes, car, lorsqu’elles sont remplies, la résultante ne peut déterminer aucun glissement et est détruite par la fixité du plan qui développe une réaction égale et opposée à Q. Il serait aisé de retrouver analytiquement ces résultats.

2° Cas de plusieurs points d' appui en Ligne droite. — Admettons que le corps s’appuie sur le plan fixe par des points A,,

Fig. 72.

A2, ..., Kp delà droite O x. En tous ces points, le plan exerce des réactions normales Q<, Q2, ..., Qy,, toutes dirigées dans le

même sens {fig. 72). Ces forces ont une résultante Q normale au plan, dirigée dans le même sens, et dont le point d’application tombe sur Oæ entre les points extrêmes A^, A^.

Pour que l’équilibre ait lieu, il faut que les forces données fassent équilibre aux réactions du plan, c’est-à-dire qu’elles aient une résultante unique, normale au plan, dirigée de façon à apjiliquer le corps sur le [>lan, et dont le prolongement rencontre Oûo en un point situé entre Ai et A^. Ces conditions nécessaires sont suffisantes, car cette résultante peut alors être décomposée en deux autres, normales au plan et appliquées en deux points d’appui; ces forces seront détruites par la résistance du plan.

Pour exprimer analytiquement ces conditions, nous prendrons pour axe des ^ la droite 0.r, l’axe des ,3 normal au plan et situé du même côté que le corps par rapport à ce plan. Toutes les réactions Q,, Q2, ..., Q/, sont alors positives. Les équations d’équilibre sont

X = O, Y = O, Z -4- Qi -4- Q-2 H- ... H- Qp = O,

L = O, M — «iQi — «2Q2 — . . .— «pQp= O, N = O,

en désignant par . . . , <2^ les abscisses des points d’appui.'

Quatre de ces équations, qui sont indépendantes des réactions, expriment des conditions nécessaires d’équilibre; elles montrent que les forces données doivent avoir une résultante unique normale au plan des œy et rencontrant l’axe des œ. La troisième équation nous montre que Z doit être négatif, c’està-dire que la résultante doit être dirigée de façon à appliquer le corps sur Je plan. Soit^ l’abscisse du point où la résultante rencontre O^. Son moment par rapport à O y sera M = — xL] on devra donc avoir

X Z -f- Qi — 1- CI2 Q2 Qp — O,

d’où l’on tire, en remplaçant Z par sa valeur,

Qi -1- Q2 . H- Qp

et cette quantité est, comme on sait, comprise entre les deux valeurs extrêmes et a^,, car les quantités Q<, Q2, Q/> sont