CHAPITRE VI. — ÉQUILIBRE d’uN CORPS SOLIDE. l

positives; le prolongement de la résultante rencontre donc entre les points d’appui extrêmes.

Les réactions du plan doivent maintenant vérifier les deux équations

Z -I- Qi-H Q2-h...-i- Qp=0,

M «iQi «2Q2 — • • • CLpO./) = O.

S’il n’y a que deux points d’appui, elles donnent les deux réactions. S’il y a plus de deux points d’appui, les réactions ne sont pas déterminées par ces deux relations. On les déterminerait complètement en introduisant des considérations d’élasticité.

3° Cas général. — Supposons que le corps solide repose sur le plan fixe par une série de points A^, A2, ..., A^ non en ligne droite. Le plan exerce des réactions normales Q,, Qo, ..., Q^, qui ont une résultante unique Q, car elles sont toutes dirigées dans le même sens et, d’après ce que l’on a vu sur la composition des forces parallèles, le point où cette résultante perce le plan est situé à l’intérieur de tout polygone convexe qui renferme tous les points d’appui; en particulier, il est à l’intérieur du pol}'gone de sustentation., polygone convexe dont les sommets sont des points d’appui et qui renferme tous les autres. Pour qu’il y ait équilibre, il faut que les forces données fassent équilibre à la résultante Q; il faut donc que les forces F aient une résultante unique normale au plan, dirigée de façon à appliquer le corps sur le plan et qui le traverse à l’intérieur du polygone de sustentation. Ces conditions sont suffisantes, car, dans ccs hypothèses, on pourra toujours décomposer cette résultante en trois forces normales au plan et appliquées à trois des points d’appui, forces qui seront détruites par la résistance du plan.

Prenons toujours le même système d’axes; le corps pouvant être considéré comme libre, mais soumis à l’action des forces , Fo, ..., F/^, Q<, Q2, ..., Q^, les conditions d’équilibre seront,

en désignant d’appui.

par a^ , , «2, Ù2, . • .

, les coordonnées des points

^ Z -f- Ql -h Q2 •

f M — aiQi — «2Q2 — .

. . — Cl P = 0.

Les équations (i), étant indépendantes des réactions, expriment une condition nécessaire d’équilibre : c’est que les forces données aient une résultante unique normale au plan; en elFet, la quantité LX + MY-4-NZ est nulle, et l’on ne peut avoir Z = o, sans quoi toutes les réactions seraient uulles, puisqu’elles ne peuvent être que positives ou milles. Dans ce cas particulier, où toutes les réactions seraient milles, Z, L et M seraient mils, il j aui-ait équilibre entre les forces directement appliquées. En écartant ce cas d’équilibre évident, on voit que les forces F, , . . . , F„ doivent avoir une résultante normale au plan; il faut, en outre, que Z soit négatif, comme il résulte de la première des équations (2), et que la résultante unique perce le plan des xy à l’intérieur du polygone de sustentation, condition qu’on déduirait des deux dernières équations (2). S’il n’y a que trois points d’appui, les équations (2) permettent de déterminer les trois réactions. S’il y en a plus, il faut tenir compte de l’élasticité des corps.

4“ Application. — Pour montrer comment on peut former les conditions auxiliaires d’équilibre, nous traiterons le cas d’une table rectangulaire reposant par quatre pieds sur un plan horizontal.

Soit Al A2 A3 A4 cette table, sur laquelle nous placerons des corps quelconques. Soient P le poids total de ces corps et de la table, et A le point où la verticale du centre de gravité perce la table; désignons par Bi, B2, 7^) points d’appui; prenons le plan horizontal lixe pour

Fig. 73.

plan des xy., le centre du rectangle de sustentation pour origine et les axes des et des y parallèles aux côtés de ce rectangle; les coordonnées des points d’appui Bi, B2, B3, B4 seront respectivement (a, ô), (a, — ô), ( — a, — ô), ( — a, ô). Soient x.,y les coordonnées de A ; désignons par Q/,