CHAPITRE VI. — EQUILIBRE I) UN CORPS SOLIDE
115. Théorème de Guldin. — L’aire engendrée par une courbe plane tournant autour d’un axe situé dans son plan, qui ne la traverse pas, est égale à la longueur de la, courbe multipliée par la circonférence que décrit le centre de gravité de la courbe supposée homogène.
En effet, rapportons Ja courbe plane à l’axe de rotation {Jig. ']^) pris comme axe 0.2? et à une perpendiculaire Oy. Un élément ds, ayant pour ordonnée y, engendre en tournant un élément superficiel r/A, qu’on peut assimiler à la surface latérale d’un tronc de cône
d\ = 2 Tzy ds ;
on a donc
ce qui démontre le théorème.
Si l’axe traversait la courbe, l’expression trouvée pour A représenterait, non la surface totale, mais la différence des surfaces engendrées par les portions de la courbe situées de part et d’autre dé l’axe, car dans l’intégrale A l’élément y ds est positif ou négatif, suivant que l’élément ds est au-dessus ou au-dessous de l’axe.
116. Surfaces. — Soit m la masse d’un élément de la surface d’aire a; le rapport ^ est la densité moyenne de l’élément <t. La densité o de la surface
en un point P est la limite du rapport — quand j est un élément superficiel infiniment petit entourant le point P. En général, p est une fonction des deux paramètres qui définissent la position du point P sur la surface. Quand p est constant, la surface est dite homogène.
Soit da un élément superficiel infiniment petit entourant le point P de coordonnées x, y, la masse dm de cet élément est p et l’on a, en appelant M la masse totale, tj, Ç les coordonnées du centre de gravité.
Quand la surface est homogène, p est constant, la masse M est pS, S désignant l’aire de la surface, et l’on a
X de,
Sr^
y de.
Z de.
117. Aires planes. — Prenons le plan de l’aire pour plan des xy, la coordonnée t est alors évidemment nulle. L’élément de aura différentes expressions suivant le système de coordonnées employé; par exemple, en coordonnées polaires;’ et 0, doit être pris égal à rdrd^’, en coordonnées
cartésiennes d’angle a, est égal à dxdy .... En particulier, si l’on
a une aire plane homogène rapportée à des coordonnées cartésiennes rectangulaires, les formules deviennent
S = J' J' dxdy^ S^= J J" xdxdy^ St) = ^ J'ydxdy,
formules dans lesquelles on peut toujours effectuer une intégration.
118. Théorème de Guldin. — Le volume engendré par une aire plane tournant autour d’un axe situé dans son plan et qui ne la traverse pas est égal à l'aire donnée^ multipliée par la circonférence décrite par le centre de gravité de cette aire supposée homogène.
Un élément dx dy de l’aire S engendre par sa rotation autour de l’axe Ox un élément de volume, qui est la différence des volumes des cylindres
engendrés par les rectangles ABGD, A'B’GD {Jig. 70), c’est-à-dire, aux infiniment petits du troisième ordre près,
1 T, y dx dy ;
donc le volume V est
ce qui démontre le théorème.
Remarquons que, si l’axe traversait la courbe, la formule ci-dessus représenterait la différence des volumes engendrés par les portions d’aire situées de part et d’autre de Ox.
Gomme généralisation de ce théorème, nous signalerons d’importantes recherches de M. Koenigs sur les volumes engendrés par un contour {Journal de M. Jordan., t. V; 1889), recherches qui donnent une application nouvelle de la théorie des vecteurs. Voyez également une Note de M. Hadamard, Bulletin de la Société mathématique de France, séance du 7 décembre 1898.
