CHAPITRE VI. — ÉQUILIBRE d’üN CORPS SOLIDE. iGl

119. Volumes. — Dans un corps solide, prenons un volume e comprenant une masse m \ le rapport — est dit densité moyenne de ce volume. Lorsque le volume c tend vers zéro et se réduit à un point P, nous admettons que le rapport — tend vers une limite p, qu’on nomme densité au

point P. Cette quantité p est une fonction des coordonnées du point P; quand p est constant, on dit que le corps est homogène.

La masse dm d’un élément de volume dv entourant le point P de coordonnées ic, jKj ^ est pdv. On a donc, en appelant M la masse totale., les formules

Si le corps est homogène et a pour volume V, M est égal à pV et l’on a

L’expression de dv dépend du système de coordonnées employé : en coordonnées cartésiennes obliques, il faut prendre dv égal à kdxdy dz., en désignant par k le volume du parallélépipède dont les arêtes, parallèles aux axes, ont pour longueur l’unité; en coordonnées polaires dans l’espace r, 6, on a pour dv l’expression /’2<i/'sin0 o?6 etc.

Dans le cas d’un corps homogène, on pourra toujours commencer par effectuer l’une des trois intégrations et ramener les intégrales triples à des intégrales doubles.

EXERCICES

1. Un système de forces appliquées à un corps solide étant rapporté à des àxcâ obliques, démontrer que les six équations d’équilibre gardent la même forme qu’en coordonnées rectangulaires :

2x^=0, y]Yj=o, y]z,-=o, y](y>Zj-^,.Y.) = o,

2. Si l’on considère un polygone plan fermé et que, dans le plan de ce polygone, on applique perpendiculairement à tous les côtés moins un des forces proportionnelles à ces côtés, toutes dirigées vers l’extérieur, ces forces ont une résultante perpendiculaire et proportionnelle au dernier côté.

3. Si plusieurs forces appliquées à un corps solide se font équilibre ou se réduisent à un couple, le centre de gravité de masses égales placées aux extrémités de ces forces coïncide avec le centre de gravité de masses égales placées aux points d’application (Crofton).

4. Etant donné un polygone gauche fermé P, on dirige, suivant les côtés de ce

A. — I. Il

polygone, dans un même sens de circulation, des forces égales aux cotés. Démontrer : 1° que ces forces se réduisent à un couple; 2“ que, si l’on construit dans le plan de ce couple un polygone 11 dont l’aire soit la moitié du moment du couple, la projeetion de P sur un plan quelconque a même aii'e que la projection de II sur le même plan (Guichard).

5. Étant donné un quadrilatère plan convexe ABCD, diriger suivant les côtés de ce quadrilatère quati-e forces se faisant équilibre. ( Voir Mobius, Statique, § 29.)

6. Centre cVuii système de forces situées dans un plan et admettant une résultante. — Soit une figure plane A,A2... A„ de forme invariable, aux difierenls points de laquelle sont appliquées des foices F,, F,, ..., F„, toutes situées dans le plan de la figure et admettant une résultante R. Déplaçons la figure plane dans son plan en supposant que les forces F,, ..., F,^ restent appliquées aux mêmes points A,, A^, ..., A„ de la figure mobile, et conservent chacune une grandeur et une direction constantes. La résultante R est alors également constante en grandeur et en direction, et passe par un point fixe G, invariablement lié à la figure mobile, qu’on appelle, d’après Môbius, centre des forces F,, Fj, ..., F^,.

7. Cas du couple; directions principales. — Supposons maintenant que les forces Fj, Fj, ..., F,^ forment un couple : en déplaçant la figure dans son plan et

laissant les forces constantes en grandeurs et directions, on peut toujours amener la figure dans une position d’équilibre.

Il existe deux directions rectangulaires OP et OQ, invariablement liées à la figure mobile et caractérisées par la propriété suivante : lorsque la figure est amenée dans la position particulière ou l’équilibre a lieu, si l’on décompose chaque force F,, en deux composantes et Q^. respectivement parallèles à OP

et OQ, les forces parallèles Pj. se font équilibre et les forces Qj. également. Ces directions se nomment directions principales (Môbius).

8. Sur une planchette, on a fixé deux aiguilles aimantées dont les lignes des pôles de longueurs a cl b se coupent à angle droit en leurs milieux. La planchette flottant sur un liquide immobile, trouver ; 1° sa position d’équilibre; 2° les directions principales (ex. 7). On sait que l’action de la terre sur une aiguille aimantée régulièrement, c’est-à-dire n’ayant que deux pôles et une ligne neutre, se réduit à un couple dont les forces sont constantes en grandeur et direction et appliquées aux pôles de l’aimant. On appellera, dans l’exercice proposé, P la valeur commune de la projection horizontale des deux forces du couple agissant sur l’aiguille a, Q la même quantité pour l’aiguille b. Les forces P et Q sont dirigées suivant le méridien magnétique du lieu.

9. Plan centrcd dans un corps solide sollicité par des forces dont la résultante générale n’est pas nulle. — Soit un corps solide sollicité par des forces dont la résultante générale n’est pas nulle : supposons que, lorsque le corps se déplace, chaque force conserve une grandeur et une direction constantes et reste appliquée en un point fixe dans le corps. C’est ce qui arriverait, par exemple, pour un corps solide pesant constitué par la réunion de plusieurs corps aimantés : l’action de la terre sur chaque aimant donne lieu à un couple dont les forces sont constantes en grandeur et direction, et appliquées aux pôles de l’aimant; le poids total du système est également une force constante en grandeur et direction, appliquée en un point fixe dans le corps. Ce système de forces admet une résultante générale égale au poids.