CHAPITRE VI. — ÉQUILIBRE d’uN CORPS SOLIDE. l

Il est évident qu’une translation du eorps ne change rien à l’état du corps : il suffira donc d’étudier l’effet des rotations.

Considérons une droite O/?, et décomposons chaque force Fj. en une force parallèle à O/? et en une force perpendiculaire. Si l’on fait varier la direction O /> d’une manière arbitraire, le Heu du centre w des forces parallèles est, en général, un plan qui se nomme, d’après Mobius,/?^a« central : il est fixe dans le corps quelle que soit son orientation. Dans certains cas particuliers, le lieu peut être une droite (ligne centrale), et même un point (centi'e des forces).

10. Théorème de Minding. — Déplaçons le corps d’une manière quelconque en supposant toujours les forces Fj, constantes en grandeur et direction ; il existe une infinité de positions pour lesquelles les forces F^. admettent une résultante unique : l’ensemble de ces résultantes uniques forme dans le corps une congruence dont les rayons rencontrent deux coniques fixes (coniques focales) situées dans deux plans rectangulaires. (Voyez Crelle, t. 14 et 15.)

11. Axes d’équilibre. — Imaginons un corps solide libre remplissant les mêmes conditions que précédemment : lorsque ce corps change de position, les forces qui le sollicitent restent constantes en grandeur et direction et leurs points d’application restent fixes dans le corps. Comme nous l’avons dit, une translation ne change rien à Vétat du corps : il suffit donc d’étudier l’effet des rotations. Supposons le corps en équilibre dans la position actuelle et po^ sons avec Mobius (^Statique, Chap. VIII)

SjkZ = S^Y=F, SsX = Sa;Z = G, llxY = y:yX = H,

^xX — l, = m, "LzZ = n,

les sommes étant étendues à toutes les forces. Mobius nomme axe d’ équilibre une droite telle que le corps solide reste en équilibre quand on le fait tourner d’un angle quelconque autour de cette droite. Pour que l’axe soit un axe d’équilibre, il faut et il suffit qu’on ait, outre les six équations d’ équilibre, les conditions suivantes :

12. Équilibre asiatique. — On dit que l’équilibre est asiatique quand il subsiste quelle que soit la position donnée au corps, les hypothèses sur les forces étant les mêmes que dans le numéro précédent. Il faut pour cela que chacun des trois axes coordonnés O x, Oy, O x; soit un axe d’équilibre, c’est-à-dire que l’on ait, avec les six conditions d’équilibre, les six conditions suivantes :

Ces conditions nécessaires pour l’équilibre astatique sont suffisantes.

13. Quand un corps solide est sollicité par deux forces appliquées en des points fixes dans le corps, constantes en grandeur, direction et sens, il existe toujours un axe parallèle à une direction donnée tel que, en fixant cet axe, le corps soit en équilibre indifférent dans toutes les positions qu’il peut prendre (Mobius).

14. Quand un corps est en équilibre astatique, si l’on considère les composantes des forces parallèles à une direction donnée, on obtient un système de forces parallèles en équilibre. Le centre de celles de ces forces parallèles qui out un

l64 DELXIÈ31H: PARTIE. — STATIQUE.

sens déterminé coïncide avec le centre de celles de ces forces parallèles qui ont le sens opposé.

15. Considérons un corps solide sollicité par des forces appliquées en des points fixes du corps, constantes en grandeur, direction et sens. Quelles sont les conditions nécessaires et suffisantes pour qu’on puisse amener ce corps à être en équilibre astatique par l’adjonction d’une seule force, appliquée en un point fixe P, constante en grandeur, direction et sens?

Béponse.

SXa? SYa; SZ.T SX “ SY ^ SZ ’

et deux proportions analogues dans lesquelles x serait remplacé par y ou .s. Le point P existe alors et se nomme centre des forces du système. Dans ce cas, les coordonnées du point défini dans l’exercice 9 sont indépendantes de l’orientation : ce point est précisément le point P.

16. Chercher de même les conditions pour qu’il existe une ligne centrale^ c’est-à-dire pour que le point w décrive une droite. Dans ce cas, on peut toujours ajouter au système deux forces, de façon à réaliser l’équilibre astatique.

17. Lorsque le point w décrit effectivement un plan {plan central)^ on peut ajouter trois forces, de façon à établir l’équilibre astatique.

18. Un corps solide est mobile autour d’un point fixe et sollicité par des forces appliquées en des points invariables du corps, constantes en grandeur et direction. Quelles conditions doivent remplir ces forces pour que le corps soit en équilibre dans toutes les positions qu’il peut prendre autour du point O (équilibre astatique du levier)?

19. Même question en supposant le corps mobile autour d’un axe fixe.

20. Même question en supposant qu’il puisse tourner autour d’un axe et glisser le long de cet axe. •

21. Un corps solide, mobile autour d’un point ou d’un axe fixe, est sollicité par des forces constantes en grandeur et direction appliquées en des points invariables du corps : trouver les positions d’équilibre du corps. ( Voyez les exercices 23; voyez aussi Moigno, Leçons de Mécanique analytique^ d’après Cauchy, p. 23/| et suiv.)

22. Étant donnés un système de forces appliquées à un corps solide et un trièdre quelconque OP, OQ, OS, on décompose chaque force F^. en trois composantes

(7 J., 5^, parallèles aux arêtes du trièdre, et l’on appelle A le centre des forces parallèles jOj, et /? = py leur résultante, B celui des forces q^, G celui des forces s,., q et s leurs résultantes. Démontrer que le produit de la surface du triangle ABC par le volume du parallélépipède, ayant pour arêtes p, q^ s, est constant, quelle que soit l’orientation du trièdre OPQS (Minding).

23. Exercices sur le théorème de Minding. — i“ Une droite quelconque A, s’appuyant sur les deux coniques focales trouvées dans l’exercice 10, étant choisie, démontrer qu’il existe une position du corps (c'est-à-dire un système de valeurs des neuf cosinus) pour laquelle les forces ont une résultante unique dirigée suivant A. (Il faut remarquer que, les axes mobiles devant pouvoir