CHAPITRE VI. — ÉQUILIBRE d’uN CORPS SOLIDE. lG

coïncider avec les axes fixes, le déterminant des neuf cosinus égale + i ; il est commode d’exprimer les cosinus à l’aide des angles d’Euler.)

2° Par un point P quelconque du corps, on peut mener quatre droites s’appuyant sur les deux coniques focales : il existe donc quatre positions du corps, pour lesquelles les forces admettent une résultante passant par un point P du corps.

3“ Si les forces, agissant sur un solide, restent constantes en grandeur et direction, et appliquées en des points fixes dans le solide; si, de plus, ces forces se réduisent à un couple, il existe quatre positions d’équilibre du corps.

(En effet, les forces étant Ej, F,, ..., F,,, appliquées aux points A,, A2, ..., A„, les forces F2, F^, F,^ ont une résultante générale R égale et opposée à Fj.

D’après ce qui précède, il existe quatre positions du corps pour lesquelles les forces Fo, F3, ..., F,^ ont une résultante unique R passant par le point A; du corps. Ces quatre positions sont alors évidémment des positions d’équilibre, puisque, dans chacune d’elles, R et Fj sont égales et directement opposées.)

Les théorèmes précédents ont lieu dans les cas les plus généraux. Si les forces ont des positions particulières, le nombre quatre peut être augmenté et devenir même infini.

24. Un corps étant en équilibre dans la position actuelle, on demande, en faisant les hypothèses de l’exercice 11, si ce corps admet un axe d’équilibre.

Solution. — Il suffit de chercher s’il existe un axe d’équilibre O z' passant par O : pour cela, on rapporte le système à trois nouveaux axes Ox', Oy\ Oz\ faisant avec les anciens des angles dont les cosinus sont a, a', a", p, P', [â", y, y', et l’on évalue les quantités F', G', H', V , m' , n' relatives à ces nouveaux axes. Si l’on pose, pour abréger,

jn -h /i = /, /I H- Z = Z -1- m — Zi,

et si l’on appelle/',^', Zi' les quantités analogues par rapport aux nouveaux axes,, on arrive au résultat suivant : Considérant la forme quadratique

( ü, u' , u") = fu^ H- gu’- -h hu'"^ — 2 F ü' ü" — 2 Gu” U — 2 H M u',

on peut écrire

' âp' ^ djà"

dy