IL

Pour que l’axe Oz', défini par les cosinus y, y', y", soit un axe d’équilibre, il faut et il suffit qu’on puisse déterminer y, y’, y" par les équations

qui exigent que le discriminant de soit nul.

25. Positions d’équilibre d’une barre homogène pesante AB, dont une extrémité A est attachée à un point fixe O par Un fil AO inextensible et sans masse, et dont l’autre extrémité B glisse sans frottement sur un plan horizontal fixe.

26. Soient des points matériels de masses nij, m^, . . . , M la somme de ces

masses, G leur centre de gravité, A un point arbitraire; démontrer les deux relations

S iriy • I A = S m^. . «ij. G + M . AG ,

MSm^, ./n^A = M^.AG ,

m-nif. désignant la distance du point m - au point (Lagrange).

27. Centres de gravité de lignes homogènes. Arc de cercle. — La distance du centre de gravité au centre du cercle est une quatrième proportionnelle entre l’arc, le rayon et la corde.

28. Arc de chainette jp = - 1 ga g a \ • — Le centre de gravité d’un arc AB

a même abscisse que le point de concoui's des tangentes aux extrémités A et B. Si le point A est le sommet de la courbe, l’ordonnée du centre de gravité est la moitié de l’ordonnée du point où la normale en B rencontre Oy.

29. Aires planes homogènes. — Si une aire plane homogène admet un diamètre rectiligne conjugué d’une certaine direction de cordes, le centre de gravité est sur ce diamètre.

30. Centre de gravité de Vaire d’un triangle (il coïncide avec le centre de gravité de masses égales placées aux trois sommets); d’un trapèze (il est situé sur la droite joignant les milieux des bases b et B, et divise cette droite dans le rapport de 2B-f-ù à aù + B).

31 . Centre de gravité d’une portion de plan limitée par un arc de chainette AB, Vaxe des x, base de la chainette, et les deux coordonnées des points A et B. ( L’abscisse du centre de gravité est égale à celle du centre de gravité de l’arc AB’ son ordonnée est égale à la moitié de celle du centre de gravité de l’arc.)

32. Aires non homogènes. Centre de percussion. — Soit une aire plane S; considérons une droite AA' de son plan et supposons que la densité p soit proportionnelle à la distance o de ce point à la droite AA'. Le centre de.gravité G de la surface matérielle ainsi définie est appelée \c centre de percussion de cette surface par rapport à l’axe AA'. Ce point se présente dans la théorie des percussions; il se présente aussi en Hydrostatique. Démontrer que le centre de percussion G et l’axe AA' forment un système de pôles et polaires par rapport à une conique fixe imaginaire, ayant pour centre le centre de gravité de l’aire S supposée homogène.

Réponse. — Prenons comme origine le centre de gravité de l’aire S supposée homogène et appelons dz un élénient de cette aire : les intégrales J' J^J^ydz étendues à l’aire sont nulles; on peut choisir l’orientation des axes rectangulaires xOy de façon que J'J^xydz soit nulle aussi. Alors dz = S.

Posons en outre

J' J" x-dz — a* S, y-dz — ù-S.

Soit ux-yvy-y i = o l’équation de la droite AA'; on a, pour la densité suppo-