CHAPITRE VI. — ÉQUILIBRE d’uN CORPS SOLIDE

sée de l’aire S, au point (a;, y),

- (uj? -h i’y -H I ) ( /f constante ).

Les coordonnées de G sont alors \ = a-u, 'f\ = pôle de la droite AA' par

rapport à la conique imaginaire — i — 0. On peut dire aussi que G e.st

le symétrique par rapport à O du pôle de la droite AA' pris dans la conique

réelle — -i- ^ — 1 = 0.

33. Aires courbes homogènes. — Soient S une portion d’aire sphérique de rayon R, fj sa projection sur un plan diamétral et 6 la distance du centre de gravité de l’aire à ce plan; démontrer la formule

34. Volumes homogènes. — Si un volume homogène admet un plan diamétral conjugué d’une certaine direction de cordes, le centre de gravité est dans ce plan.

Exemples : Tétraèdre (le centre de gravité coïncide avec le centre de gravité de quatre masses égales placées aux quatre sommets). Cylindre tronqué (le centre de gravité est au milieu de la droite parallèle aux génératrices, joignant les centres de percussion des deux bases par rapport à la droite d’intersection des plans des deux bases).

35. Soient trois axes obliques Oy, désignons par l’aire de la section faite dans un solide homogène par un plan parallèle au plan ûsOy; par T\', -Z les coordonnées du centre de gravité de cette aire supposée homogène; démontrer que le centré de gravité du solide a pour coordonnées

's.^r,'dz,

S, Z dz.,

et .s J désignant les ordonnées .3 des plans limitant le solide, V le volume du

solide /^V = k j S^dz'^ et k le volume du parallélépipède, dont la base paral-

lèle au plan des xy a pour surface l’unité et dont l’aréte parallèle à 0.3 a pour longueur l’unité.

(On décompose le solide en tranches infiniment minces par des plans parallèles au plan x Oy. )

3G. De là résulte que, si les centres de gravité des sections planes parallèles sont dans un plan fixe, le centre de gravité du solide est aussi dans ce plan. Si les centres de gravité des sections se déplacent sur une droite, le centre de gravité du volume est sur cette droite. Cette dernière circonstance se présente pour la partie d’un solide de révolution comprise entre deux plans perpendiculaires à l’axe, et pour le volume limité par une surface du second ordre et deux plans parallèles.

37. Si l’aire est une fonction du second degré de 3, on a, en désignant par

iG8

Sfl, Sp <7 les aires des deux bases du solide et de la section équidistante des bases, et par h la hauteur du solide,

les distances du centre de gravité du volume aux deux bases Sg et Sj sont entre elles comme S, + 2 a est à S„ -h 2 a. Ces formules s’appliquent aux troncs de pj^ramide et de cône, aux segments de quadriques et de surfaces réglées compris entre des plans parallèles.

38. Dans les solides que nous venons de citer, on a ce théorème : Le centre de gravité du solide est le centre de gravité de trois masses, placées aux centres de gravité des deux bases et de la section moyenne, et égales respectivement aux aires des bases et au quadruple de l'aire de la section moyenne ^ ( Darboux, Note de ta Mécanique de Despeyrous, p. 383-388.)

CHAPlTUlî VII. — SYSTÈMES DÉFORMABLES.