CHAPITRE VII. — SYSTÈMES DEFORMABLES

Par exemple, si les forces F3, F,,, F5, Fo ont une résultante unique R, i] y aura équilibre entre les tensions des côtés extrêmes

Fi

M3P et MoQ et cette résultante : les deux côtés extrêmes se couperont donc en un point de la résultante R (n° 107).

123. Equilibre du polygone funieulaire. Polygone de Varignon. — Considérons un polygone funiculaire en équilibre sous Faction de forces appliquées en ses différents sommets. Pour éviter toute confusion sur le sens des tensions, appelons la tension

du côté portée sur ce côté dans le sens et

même tension portée en sens contraire, de telle sorte que et T/^, soient deux forces égales et directement opposées.

Supposons que Ton coupe Jes cordons M2M3 et McMv en P et Q et que f on considère la partie PM3 M4 M5 Mc Q du polygone funiculaire: cette partie est en équilibre sous Faction des tensions 1 3,2 et Te, 7 appliquées aux points P et Q et des forces données F3, F4, Fg, Fc agissant sur les sommets intermédiaires. Le point M3 considéré comme libre est sollicité par la force F3 et Jes deux tensions T3,o, T3,/, des cordons attachés à ce point : ces trois forces sont donc en équilibre; de même Je point M4 est en équilibre sous Faction de Ja force directement appJiquée F4 et des deux tensions 14,3, T4 5 des cordons attachés à ce point; et ainsi de suite. On aura ainsi Jes conditions d’équilibre en exprimant que chaque sommet est en équilibre sous Faction de la force qui lui est appliquée et des tensions des cordons aboutissant à ce sommet.

Ces conditions se résument dhine manière simple dans la con-

struction suivante qui conduit au polygone de Varignon. Par un point arbitraire A, menons un vecteur AAa égal et parallèle à la tension du premier côté considéré et par Je point A2 un vecteur A0A3 identique à F3 : puisque les trois forces T3^2? F.3 etX3^4 se font équilibre, le vecteur A3 A fermant le triangle AA2A3 est égal et parallèle à T3^/, et, par suite, le vecteur AA3 est identique à T4^3. Maintenant, comme les forces T4^3, F4 et se font équilibre, si par le point A3, extrémités d’un vecteur AA3 égal et parallèle à T4^3, on mène un vecteur A3 A4 identique à F4, le vecteur A4A est identique à T4^5 et le vecteur de sens contraire AA4 est identique à Tg^4; on continue ainsi de proche en proche et l’on arrive finalement à mener le vecteur A5 Ac égal et parallèle à Fo et le vecteur AAe identique à la dernière tension

En résumé, pour que la partie considérée ( voir Jig. PM3M4M5M6Q du polygone funiculaire soit en équilibre, il faut et il suffit qu’en portant bout à bout des vecteurs A2A3, A3 A4, A4A5, AgAc égaux et parallèles aux forces F3, F4, F5, F^ appliquées aux sommets, on puisse trouver un point A tel que les vecteurs AA2, AA3, AA4, AAg, AAc soient parallèles à PM3, M3M4, M4M,, M^Me, McQ et dirigés en sens contraire de ces cordons; cette dernière condition résulte de ce qu’un vecteur tel que AA3 est identique à la tension T4,3, laquelle est dirigée dans le sens M4M3,

Ces conditions sont suffisantes : car, si elles sont remplies, chaque sommet M^- est en équilibre sous l’action de la force F/ et de deux tensions respectivement égales aux vecteurs

AA/i, A, A.

Le moment résultant des tensions extrêmes 13^27 et des forces F3, F4, F5, Fc est alors nul, ainsi que le moment résultant de chaque force F/ et des deux tensions appliquées

au point M/. En considérant les moments des forces et des tensions par rapport à un même point, on aurait donc des vecteurs avec lesquels on pourrait construire un polygone analogue à celui de Varignon.

Il peut arriver que toutes les conditions d’équilibre soient remplies, sauf celles qui sont relatives aux sens des tensions par rapport aux côtés; alors certains côtés sont comprimés au lieu d’être tendus et l’équilibre ne subsiste pas. Pour le maintenir, il faudrait