CHAPITRE VII. — SYSTÈMES DÉFORMABLES

remplacer ces côtés par des barres rigides pouvant résister à la compression.

124. Conditions aux limites. — Les conditions d’équilibre que nous venons d’indiquer doivent être remplies par une portion quelconque du polygone. Les sommets extrêmes du 'polygone funiculaire peuvent être assujettis à des conditions de différentes natures appelées conditions aux limites.

1" Les extrémités sont libres. — 11 peut se faire que le polygone funiculaire MjMo. . soit libre dans l’espace, les extrémités M< et M„ étant libres et sollicitées par des forces connues F< et F„. Supposons, pour simplifier, ai = 5 , le polygone étant M, M2M3M4 M5. Alors les tensions des côtés extrêmes M4M2 et M4M5 sont connues; en effet, M, est en équilibre sous l’action de F^ et de la tension : celte tension est donc égale et opposée à F,. De mêmeTg^/, est égale et opposée à F5. Si l’on construit le polygone de Varignon correspondant au polygone funiculaire total, le premier côté AA< sera égal et parallèle à F^, le deuxième Al A2 égal et parallèle àF2, . . . , le dernier A4A5 égal et parallèle àFs {fig> 78). Le polygone ainsi construit est le polygone des

Fig. 78-

forces F,, F2, Fg, F4, Fg; ce polygone doit se fermer : Ag doit coïncider avec A, car, les forces F^f remplissant les conditions d’équilibre de forces appliquées à un corps solide, leur résultante générale est nulle. Les tensions telles que sont égales et

parallèles aux diagonales AA/f du polygone de Varignon.

2® Les extrémités Mj et sont attaehées en des points fixes. — Il faut alors prendre comme inconnues auxiliaires les forces

STATIQUE

F< et F„, représentant les actions des [loints fixes sur les extrémités M, et M„ ou, ce qui revient au même, les deux tensions extrêmes T.,,,

o'* Le polygone f luiieulaire est fermé. — Le polygone est fermé quand le dernier point est lié directement au premier JM, par un cordon. Dans ce cas, on pourra appliquer les conditions générales d’équilibre et la construction de Varignon à l’ensemble du polygone en imaginant qu’on coupe le cordon M<M5 en deux points P et Q et qu’on applique suivant P la tension et

suivant M^Q la tension Il faudra alors mener par A un vec-

teur AAq égal et parallèle àT^^5, puis, à la suite, des vecteurs A^Ai , A,Ao, . . ., A/, Ag égaux et parallèles à F<, Fo, ..., Fg {fig. 79);

Fig. 79-

les tensions des cordons seront égales et parallèles à AA,, AA2, AAg, la tension T,, g étant égale et parallèle à AAo, Tg^jàAA,, . . . , à AA^, .... La dernière tension T, ^g sera

égale et parallèle à AAg; par suite, Ag coïncidera avec Aq, car AA„ est aussi égal à T, ^g.

Donc, pour l’équilibre d’un polygone funiculaire fermé, il faut et il suffit : i® que le polygone des forces directement appliquées se ferme; 2° qu’il existe un point A tel que chaque côté

CHAPITIIE VII. — SYSTÈMES DÉFORMABLES.

du polygone funiculaire soit parallèle à la diagonale AA,, et de sens contraire.

Remarque . — Si le nombre des côtés du polygone funiculaire augmente indéfiniment, chacun d’eux tendant vers zéro, ce polygone devient une courbe, le polygone de Varignon aussi. Ce cas limite sera traité directement dans le paragraphe II.

En général, la figure d’équilibre est un polygone gauche; ce polygone sera plan si les forces F2, . . . , F^^ sont concourantes ou parallèles.

125. Forces concourantes. — Que le polygone soit ouvert ou fermé, si toutes les forces F, sauf les forces extrêmes Fi et F„, sont concourantes, la figure d’ équilibre est plane, et les moments des tensions patrapport au point de concours des forces sont tous égaux.

Soit O le point de concours des forces : nous avons vu qu’on peut considérer le point matériel M2 comme en équilibre sous Faction de F2 et des tensions T2,i, T2,s; ces forces, devant se faire équilibre, sont dans un même plan; donc Mi, M2, M3, O sont dans un même plan P. On verra de même que M2, M3, M4, O sont dans un même plan, qui n’est autre que P,

Fig. 80.

comme ayant en commun avec lui les trois points O, M2, M3, ..., et ainsi de suite : la figure d’équilibre sera donc plane et son plan passera par le point O.

Le point M2 étant en équilibre sous l’action des forces F2, T2,i, To.s, la somme algébrique des moments de ces forces par rapport au point O est nulle; et, puisque le moment de F2 est nul, on voit que la somme des moments de T2,i et de T2,a est nulle, ou que le moment de Ti^2 égale celui de T2,3. En continuant de la sorte, on verra que toutes les tensions ont même moment par rapport au point O {fg. 80).

126. Forces parallèles. — La figure d' équilibre est encore plane

quand toutes les forces, sauf les deux extrêmes, sont parallèles. Dans ce cas, les proj ections des tensions sur une perpendiculaire à la direction commune des forces sont égales.

La première partie de cette proposition s’établit comme pour les forces concourantes; pour démontrer la deuxième, observons que, les forces F2, ^2,1, Ts,3 se faisant équilibre, la somme algébrique de leurs projections sur une perpendiculaire x' x à la direction des forces est nulle, et, comme la projection de F2 est nulle, il en résulte que la projection de Ti,2 est égale à celle de T2,a; celle-ci est de même égale à la projection de T3 4, etc.

Supposons, par exemple, que les deux extrémités du polygone soient attachées en deux points fixes et que les forces agissant sur les sommets intermédiaires soient des poids ; le polygone est alors dans le plan vertical des deux points fixes. Wous admettons, de plus, qu’il y a un côté horizontal Mo Ml dont nous appelons la tension Tq, les tensions des côtés suivants M1M2, M2M3, . . . étant T1/2, T2,3, . . ., et les inclinaisons de ces côtés sur l’horizon, «i, a2, ...; les points Mi, M2, ... sont sollicités par des poids/?], /?2, .... Pour construire actuellement le polygone des forces relatif à la portion M0M1M2... du polygone funiculaire {^fig- 81), il faut mener par

Fig. 81.

un point A un vecteur AB égal et parallèle à la tension Tq dans le sens Ml Mo, puis des vecteurs BB], BiBo, . . ., égaux et parallèles à /?], pi, . . .. Les points B, Bj, B2, ... sont sur une verticale, les diagonales ABi,AB2,... parallèles aux côtés M1M2, M2M3, ... et égales aux tensions T2,i, T3^2- Od a donc

tangai =

, Pï-^P’i , p\-^Pï-^-

tanga, = ^ ^ ? tanga/,= ^

To = T2,i cosai = T3^2 cos’a2 = . . . = T/,.+.i^/,. cosa/,-.

Si l’on suppose que le nombre des sommets Mi, M2, ... augmente indéfiniment, chaque côté' tendant vers zéro, le polygone devient une courbe