CHAPITRE VII. — SYSTÈMES DEFORMABLES

plane telle qu’en appelant a l’angle de la tangente en un point M avec l’horizon, T la tension en ce point et P le poids total de l’arc MoM, compté à partir du point le plus bas Mo où la tension est Tq, on ait

tanga =—) To=Tcosa.

Par exemple, si l’on imagine un fil homogène pesant en équilibre, le poids P du fil, compté depuis le point le plus bas Mo jusqu’en M, est proportionnel à l’arc MqM ou ^ : on a donc pour la courbe d’équilibre (chaînette)

tanga = - (a constante);

nous donnons plus loin l’équation de cette courbe sous forme finie (n« 139).

Si le fil pesant n’est pas homogène, mais si sa densité linéaire p (telle qu’elle est définie au n° 114) est une fonction connue de l’arc s, compté depuis le point Mo, on a

a désignant encore une constante.

Ponts suspendus, — Nous supposerons les tringles de support verticales, équidistantes et portant le même poids, nous négligerons le poids du câble et des tringles, nous admettrons enfin que le câble, symétrique par rapport à un plan vertical perpendiculaire au plan qui le contient, est flexible et inextensible. Prenons le plan vertical contenant le câble pour plan du tableau, la trace du plan de symétrie pour axe des y, et pour axe des a? la trace xx' du tablier du pont, supposé horizontal. Nous admettrons que le nombre des tringles est pair, c’est-à-dire qu’au milieu du polygone il y a un côté MMi horizontal {fig. 8i). Appelons a la distance de deux tringles et désignons par jka les coordonnées du sommet M/,. Les coordonnées

de Ml seront — > b. Les coordonnées des autres sommets se calculeront de

proche en proche à l’aide des formules

Xk — Xk-x + a, JK4- = JKa- 1 + « t a n g a/, i ,

dans lesquelles tanga/^-i est égal à ^ ^ ^ ? car tous les poids pi, p-2, . .

sont égaux à un même poids p. On trouve ainsi

Xk= h (/i — i)a,

/ / T 7 ap k{k — i) ( A- — 1 )] = Ô -h 7^ i

On obtiendrait immédiatement cette dernière équation en remarquant que les forces extérieures appliquées à la portion M1M2 . .. M/^ forment un système de vecteurs équivalent à zéro et que, par suite, la somme de leurs moments par rapport au point M/; est nulle.

Dans ces expressions figure encore la tension inconnue Tq; on la détermine en remarquant que l’on connaît le point d’attache du dernier sommet M/t : soit h la hauteur de ce point; on devra avoir

formtrle qui donne Tq. Les sommets du polygone sont sur une parabole d’axe vertical. Si, en effet, dans les formules

on fait varier k d’une façon continue, le point y décrit une parabole dont l’axe est vertical, et les sommets du polygone sont les points de cette parabole qui correspondent à des valeurs entières de k. On démontrera aisément, en outre, que les côtés du pol}'^gone sont tangents en leurs milieux à une deuxième parabole d’axe vertical.

Si le nombre des tringles était très grand et les côtés très petits, le polygone pourrait être assimilé à une courbe qui serait nécessairement une parabole, d’après ce qui précède. On peut le vérifier aussi en remarquant que la tangente de l’inclinaison du côté est proportionnelle à

l’abscisse du milieu de ce côté; si le polygone est assimilé à une courbe, le coefficient angulaire de la tangente en un point de cette courbe doit être proportionnel à l’abscisse de ce point, propriété caractéristique d’une parabole d’axe vertical.

d27. Applications graphiques de la théorie des polygones funiculaires. — Les propriétés géométriques et mécaniques des polygones funiculaires donnent lieu à d’importantes théories dont le germe est dans une Note de Poncelet et qui se trouvent développés dans les Traités de Statique graphique de Gulmann, de M. GreiiiSona, de M. Maurice Lévy, de M. Rouché; on pourra consulter également un Ouvrage élémentaire de M. Sejrig publié dans la collection des Aide-Mémoire de M. Léauté. Nous nous bornons dans ce qui suit à traiter des exemples.

1° Détermination graphique de la résultante de plusieurs forces situées dans un plan. — Soit dans un plan un nombre quelconque de forces, quatre par exemple, Fj, F2, F3, F4, admettant une résultante générale différente de zéro. Construisons le polygone de ces forces en me-

ap n{n — r) To ’i

a , 1 , J ap

ap k{k — 1 )