CHAPITRE
THÉORIE DES VECTEURS
formule qui donne l’expression analytique du produit géométrique des deux vecteurs et qui permet de calculer le cosinus de leur angle.
Condition de perpendicularité de deux vecteurs. — Pour que les vecteurs soient |)erpendiculaires, il faut et il suffit que cos(P^P2) soit nul : on a ainsi, les axes étant rectangulaires, la condition
(4^ Xi X2 + Yj Y2 -H Zi Z2 = O.
4. Somme géométrique d’un nomlire quelconque de vecteurs libres. — Soient 3) P^, P2, ..., P/< les vecteurs donnés.
Prenons un point quelconque A et, à partir de ce point, portons bout à bout des vecteurs équipollents aux vecteurs donnés : AGj équipollent à P^, puis Ci G2 équipollent à P2, puis G2G3 équipollent à P3, ...; enfin, G«i G/^ équipollent à P;^. Le vecteur AG«, fermant le contour ainsi obtenu, est la somme géométrique R des vecteurs proposés : ces vecteurs sont les composants.
Il est facile de vérifier que la somme géométrique est indépendante de l’ordre dans lequel on prend les vecteurs composants. Nous écrirons
+ ou (R) = (P,)-h(P2)+...+ (P„)
pour exprimer que le vecteur R est la somme géométrique des vecteurs donnés. '
Projections de la somme géométrique. — Soient X^, Y^, Z<, Xo, Y2, Z2, ..., X,j, Y„, Z/i les projections des vecteurs P<, P2, . . . , P« ^ X, Y, Z celles de leur somme géométrique R. D’après
le théorème des projections, la projection du vecteur R = AG«, sur un axe quelconque, est égale à la ^omme des projections des côtés successifs du contour AGi G2 . . . G«, c’est-à-dire des vecteurs composants; on a donc
. X = Xi-hX2-i-... + X,,,
R Y = Y1 + Y2 + ...+ f Z ~ Z 1 -h Z 2 — t— . . . -h Z fl .
Somme géométrique nulle. — Si le point G« coïncide avec A, la somme R. est nulle; pour qu’il en soit ainsi, il faut et il suffît que X, Z soient nuis.
5. Différence géométrique. — La différence géométrique de deux vecteurs P^ et Po {fig- 4) ^st un vecteur Q qui, ajouté géométri-
Fig. 4.
quement à P2, donne P^ . Menons, par un point A, deux vecteurs AG< et AG2 équipollents aux vecteurs donnés; le vecteur Q équipollent à G2G4 est le vecteur cherché, car
on écrit aussi
Pi
Projections de la différence géométrique. — Soient X, Y, Z les projections de la différence géométrique Q des deux vecteurs et P2, de projections Xi , Y^, Z^ et X2, Y2, Z2. On a évidemment
X = Xi — X,, Y = Yi—Y^, Z = Zi— Z2,
