CHAPITRE I

THEORIE DES VECTEURS

le loDg de la droite D^ qui Je porte, il continue à représenter la même grandeur physique. Lorsqu’un vecteur glisse ainsi le long de la droite D< qui le porte, il reste équipollent à lui-même et, par suite, sa projection sur- un axe quelconque ne change pas, mais d’autres éléments géométriques dépendant du vecteur restent invariables.

Pour définir ces éléments, nous ferons d’abord une convention sur le sens positif des rotations.

7. Sens positif de la rotation autour d’un axe. — Soit un axe A {Jig> 5) sur lequel on a choisi un sens positif, de z' vers ^ par

Fig. 5.

exemple; un mobile M, décrivant une courbe quelconque G dans l’espace, tourne autour de l’axe dans le sens positif quand un observateur, ayant les pieds en z' et la tête en voit le mobile tourner de sa gauche vers sa droite; dans le cas contraire, le mobile tourne dans le sens négatif. ,

Par exemple, considérons deux vecteurs A^ P^ et BP2 {fig- 7); supposons qu’un mobile parcourant A^ P^ tourne autour de BP2 pris comme axe, dans un certain sens, la figure montre que réciproquement un mobile parcourant BP2 tourne autour de A^ P^ dans le même sens.

Orientation du trièdre des axes. — Nous supposerons que le trièdre des coordonnées {fig- i) est orienté de telle façon qu’un observateur debout suivant Oz, les pieds en O et la tête en et regardant dans l’angle xOy., voie 0.r à sa gauche et O y à sa droite.

Remarque. — Si l’on adoptait un autre sens de rotation posi-

lO

live, il suffirait d’adopter la disposition inverse des axes pour que les formules restent les mêmes.

8. Théorie des moments. — i° Moment vectoriel ou linéaire par rapport à un point. — Le moment linéaire d’un vecteur P^ par rapport à im point B i^fig- 6) est un vecteur BG<, d’ori-

Fig. 6.

Al

gine B, ayant : i° une longueur égale au produit Ph 8 de P< par sa distance 8 au point B; 2° une direction perpendiculaire au plan BAiP< ; 3° un sens tel qu’un moliile parcourant A^ P,, de Ai vers Pi, tourne autour de BG< dans le sens positif. La grandeur de ce moment est égale au double de l’aire du triangle BA^P^ : elle est nulle quand P4 ou 8 sont nuis. Le moment ne change pas quand on transporte le vecteur P< en un point de sa direction ou quand on déplace le point B sur une parallèle à ce vecteur.

2® Moment par rapport à un axe. — Le moment d’un vecteur P, par rapport à un axe A iyfig. 7), sur lequel on a choisi un sens positif, est égal à la valeur algébrique de la projection sur cet axe du moment de P< par rapport à un point pris sur l’axe.

Pour justifier cette définition, il faut montrer que la valeur qu’elle donne pour le moment de P^, par rapporté l’axe, est indépendante du choix du point sur cet axe. Menons par un point B de l’axe un plan II perpendiculaire à l’axe, et soient a^ p\ la projection de A^ P^ sur ce plan, BG< Je moment de P^ par rapport à B, B^< sa projection sur l’axe A. L’angle des deux plans Ai BP^ , B/>4 étant

égal à celui de leurs perpendiculaires, on a

2 airediB/»! = 2 aire AiBPi cosGiB^i,

B^i = BGi cosGi B^i.

Comme le moment BGh est égal à 2 aire A^BP^, sa projec-