RS = PQ.AK

Gomme le choix de A est arbitraire, on peut prendre AK = i; alors le moment RS est mesuré par le segment PQ.

Théorèmes. — On a choisi arbitrairement le point A. En donnant à ce point une autre position A', on obtiendrait par les memes considérations un deuxième polygone funiculaire correspondant L^, M^, M2 Mg, M4, Ng, dont les côtés extrêmes se couperaient également sur la résultante.

On a, de plus, le théorème suivant :

Les points d’intersection des côtés correspondants M/,- M/,4-1 M/,.M/,.-j.j

du premier polygone funiculaire et du second sont sur une droite A parallèle à AA'.

niAPITRE VII. — SYSTÈMES DÉFORMABLES.

En effet, prenons le premier polygone funiculaire supposé oupé en un point B d’un côté, M3M4, par exemple; la partie L3M1 M2M3B de ce polygone est en équilibre sous l’action des forces Fj, F2, F3 et des tensions Tl, 5X3,4 des côtés extrêmes M1L5 et M3B ; les deux tensions Tj, 5X3,4 ont donc une résultante égale et opposée à celle des forces F,, F2, F3. Si l’on applique le même raisonnement à la portion Lg Mj Mg M3 B' du deuxième polygone supposé coupé au point B' du côté M3M4, on voit que les tensions des côtés extrêmes M'j Lg et M3B, que nous appellerons T'j g etXg 4, ont une résultante égale et opposée à celle des forces Fi, F2, F3. De sorte que les tensions Xi,5 et X3,4 ont une résultante identique à celle des tensions Tj g et T3 4. On peut encore dire, en changeant les deux dernières tensions de sens, que l’ensemble des quatre vecteurs Xi,5, Tg,4 et Tg j, T4 3 est équivalent à zéro. La résultante des deux tensions X3,4 et T4 3, qui passe par le point d’intersection des côtés M3M4 et M3M4, est donc égale et directement opposée à la résultante A des deux tensions Xi,5 et Tg qui passe par le point de concours des côtés L3IVI1 et LgMj. Le point de concours des côtés M3M4 et M3M4 se trouve donc enfin sur la droite fixe A; il en est de même du point de concours de deux côtés correspondants quelconques des deux polygones. Cette droite fixe A est parallèle à AA', car la tension T, ,5 est égale et parallèle à AA3 et est dirigée dans le sens AA3, la tension Tg ^ est égale et parallèle à A5A' et dirigée dans le sens A3 A'; la résultante A de ces deux tensions est donc égale et parallèle à la résultante de AA5 et A5A', c’est-à-dire à AA'.

2° Construction d’un polygone funiculaire fermé correspondant à un système de forces en équilibre dans un plan. — Soient, dans un plan, un système de forces Fi, F,, F5 en équilibre {fig. 82), c’està-dire telles que leur résultante générale et leur moment résultant soient nuis. Construisons le polygone des forces A,A2...A5; ce sera un polygone fermé dont les côtés i, 2, 3, 4) ^ sont respectivement parallèles aux forces Fl, F2, ..., F5; puis prenons dans le plan un point arbitraire A; à ce point, on fait correspondre un polygone funiculaire fermé de la façon suivante :

Joignons ce point aux différents sommets du polygone des forces, et soit (7’, s) la droite joignant le point A au point d’intersection des côtés r et s; on obtient ainsi cinq droites (i, 2), (2, 3), (5, i). Construisons

ensuite un polygone fermé Mi M2M3M4M5 ayant ses sommets respectifs sur les droites Fi, F2, . , F5, regardées comme indéfinies, et ses côtés M5M1, M1M2, M2M3, ..., M4M5, parallèles aux droites (5, i), (1,2), (2, 3), ..., (4, 5 ). D’après le cas traité précédemment, on peut prendre arbitrairement la position du côté M5M1 ou L5M1 ; les côtés suivants Mi M2, M2M3, . , . , M4N5 sont alors déterminés, et le point d’intersection .M5 des côtés L5M1 et M4N5 est sur la résultante des forces Fi, F2, ..., F4, c’est-à-dire sur F5, qui est égale et directement opposée à cette résultante : le polygone construit est donc bien fermé.

Le polygone M1M2...M5 ainsi construit s’appelle le polygone funi-

DIÎUXlliMlî PARTIE. — STATIQUE.

ciliaire, répondant au point A. Si l’on suppose les points Mj, M2, . . ., M5 remplacés par des points matériels et les côtés M1M2, M2 M3, ..., M5M1 par des cordons inextensibles, en transportant les forces aux points M], M2, ..., Mg, on a un polygone funiculaire fermé en équilibre dans lequel la tension du côté M,.M^ est égale et parallèle à la droite (/’, s). Il peut se faire que certains côtés subissent des compressions; il faut alors les remplacer par des barres rigides; c’est ce qui arrive dans la figure 82 pour M1M3 et M5M4.

Si l’on prend un deuxième point A', il lui correspond de la même façon un deuxième polygone funiculaire M j M2 . . . ; les côtés correspondants des deux polygones se coupent sur une droite A parallèle à AA', comme nous l’avons démontré.

Si les forces Fi, ..., Fg, au lieu d’être en équilibre, se réduisaient à un couple, on en serait averti dans la construction, parce que LgMj et M4.N5 ne se couperaient pas sur Fg, car alors la résultante R de Fi, Fg, F3, F4 serait dirigée suivant une droite parallèle à Fg, mais différente de Fg.,

Fig. 84.

3" Cas particulier ; exemple de figures réciproques. — Supposons que les forces Fi, F2, Fs,F4, Fg, qui se font équilibre, concourent en un même point O {fig. 84); le polygone funiculaire (O )Mi M2M3M4 Mg, construit comme nous venons de le dire, et le pol}'^gone de Varignon (A) Aj A2 A3A4Ag sont alors réciproques. Voici ce qu’il faut entendre par là : Dans ce polygone funiculaire, Mi . . . Mg, les tensions Tg,!, T3^2, «-m Ti,g des côtés M2M1, M3M2, ..., MiMg sont respectivement égales et parallèles aux diagonales AAi, AA2, AAg du polygone de Varignon. Suivant chacune de ces diagonales, appliquons aux sommets Ai, A2, ..., Ag du polygone de Varignon des forces Pi, P2, ..., Pg, égales et parallèles aux côtés correspondants M2MÎ, M3M2, ..., MiMg du polygone funiculaire, et remplaçons