CHAPITRE VII

SYSTEMES DEFORMABLES.

les côtés Â1A2, A2A3, A5A1 par des cordons. Le nouveau polygone funiculaire A1A2...A5, ainsi construit, est en équilibre, et les tensions des côtés I, 2, 3, ... de ce polygone sont égales et parallèles aux diagonales OMj, OM2, OM3, ... du polygone funiculaire primitif, qui est ainsi le polygone de Varignon du nouveau polygone funiculaire. En résumé, chacun des deux polygones funiculaires (A) et (O) est alors le polygone de Varignon de l’autre.

128. Anneaux glissant sur un cordon, — Supposons qu’un cordon flexible et inextensible soit fixé par ses deux extrémités A et B et que des anneaux infiniment petits puissent glisser sans frottements le long de ce fil; ces anneaux sont soumis à des forces connues : on demande la position d’équilibre du système.

S’il n’y a qu’un anneau G, il faut que la force F soit bissectrice de l’angle ABC; car le point G peut être considéré comme mobile sans frottement

Fig. 85.

sur une ellipse ayant A et B pour foyers; il faut donc que la force soit normale à cette ellipse et dirigée vers l’extérieur, c’est-à-dire de façon à tendre le fil. La pression de l’anneau sur le fil est alors égale à F. L’élément du fil situé en G est sollicité par les deux tensions T, T' et la pression F; celle-ci étant bissectrice de l’angle de T et T' et devant leur faire équilibre, ces deux tensions sont égales et l’on a

F = 2 T cos - •

On traitera maintenant sans difficulté le cas où l’on a plusieurs anneaux : s’il y a équilibre, chaque force est dirigée suivant la bissectrice des deux cordons qui aboutissent à l’anneau correspondant, la tension T du fil est partout la même, et si Fj, F2, ... sont les diverses forces, a,, aj, ... les angles successifs des divers brins du fil, on aura (Poinsot)

2 cos —

Le système, étant en équilibre, y restera évidemment si l’on fixe les an-

DEUXIEMli: PARTIE. — STATIQUE.

neaux au fil dans les positions qu’ils occupent; on peut donc appliquer à cette figure d’équilibre tout ce qui a été dit sur le polygone funiculaire. Actuellement, toutes les tensions étant égales, le polygone de Varignon (yZ^. 77) a tous ses sommets Ai, A2, A3, ..., sauf le premier A, sur une sphère dont le centre se trouve au sommet A. Si le polygone est plan, les sommets Ai, A2, . . . sont sur un cercle de centre A.

129. Travures réticulaires. — Des considérations analogues à celles que nous avons employées pour les polygones funiculaires conduisent aux conditions d'équilibre des travures réticulaires, c’est-à-dire des systèmes de barres rectilignes, dont on néglige la masse, réunies à leurs extrémités par des articulations. Le système total est supposé soumis à des forces extérieures appliquées aux articulations ou nœuds. Chaque barre telle que AB devant être isolément en équilibre sous l’action des forces agissant sur ses deux extrémités, ces forces, qui sont les actions des nœuds A et B sur la barre, se réduisent à deux pressions ou tractions égales et directement opposées. Chaque nœud sera en équilibre sous l’action des forces qui lui sont directement appliquées et des actions, sur ce point, des barres qui y aboutissent, actions dirigées respectivement suivant ces barres en vertu du principe de l’égalité de l’action et de la réaction; car les actions des barres sur les nœuds sont égales et opposées à celles des nœuds sur les barres.

Exemple. — Un système de six tiges non pesantes, formant un tétraèdre régulier articulé SABG, est suspendu par trois cordons verticaux AA', BB',

Fig. 86.

GG' dans une position telle que a base ABG soit horizontale; au sommet S est suspendu un poids P : trouver les tensions et les pressions des barres

aiAPlTRK VII.

SYSTÈMES DÉFORMABLES. I 85

et des cordons. Appelons 6 la valeur commune des tensions des barres SA, SB, SC : on a, en projetant sur la verticale et écrivant que la somme des projections des quatre forces P et 6 appliqqées au nœud S est nulle,

car le cosinus de l’angle d’une arête SA avec la verticale est Les côtés

de la base subiront des compressions : appelons p la valeur commune de ces compressions et T la valeur commune des trois tensions des cordons AA', BB', CG'. Le point A est en équilibre sous l’action de la force 6, de la tension T et des deux forces />. En projetant sur la verticale AA', on a

ce qui est évident, car les trois forces T et la force P doivent se faire équilibre. Puis, projetant les quatre forces appliquées en A sur la hauteur AD du triangle ABC, on a

car cos DAB = — et cos S AD =