II. - ÉQUILIBRE DES FILS

130. Équations d’équilibre. — Cherchons les conditions d’équilibre d’un fil, flexible et Inextensible, sollicité par des forces continues. On piourralt considérer ce problème comme le cas limite des polygones funiculaires, mais nous l’aborderons directement.

Désignons par s la longueur du fil, comptée à partir d’une origine A, positivement dans un sens déterminé AB 87). Nous

admettrons que les forces extérieures appliquées à un élément d’arc ds peuvent être remplacées par une force unique de l’ordre de ds, Fds, appliquée en un point de cet élément; les projections de cette force seront

X ds, Y ds, Z ds,

en désignant par X, Y, Z les projections de F, qu’on appelle force rapportée à V unité de longueur .

l8() DEUXIÈME PARTIE. — STATIQUE.

Si Ton considère une portion AM du fil et si l’on supprime la portion MB, il faudra, pour maintenir l’équilibre de AM, appli quer en M une foree T, unique, puisque le fil est supposé parl’ai-

Fig. 87.

tement flexible; la force T est dite la tension à\x Ÿ\\. Désignons par a, [3, y les cosinus directeurs de cette tension; ses projections sont

Ta, T[3, Ty.

Si, après avoir coupé le fil en M, on avait supprimé la portion MA, on aurait dû, pour maintenir l’équilibre de MB, appliquer en M une force — (T), en vertu du principe de l’égalité de l’action et de la réaction. Les projections de cette nouvelle tension sont

-Ta, -T^, -Ty.

Coupons le fil en deux points infiniment voisins M, M, et ne conservons que l’élément MM,. Cet élément est en équilibre sous l’influence de la force YdSy qui agit sur lui, et des deux tensions — T, T,, qui remplacent les actions des portions supprimées du fil; si l’on désigne par a,, p,, y, les cosinus directeurs de T,, ses projections sont

Tia,, Tjj3j, Tiyj.

Ecrivons que la somme des projections des trois forces est nulle ; nous avons, en remarquant que

Tl a, — Ta = o?(T a),

Ti^i-T^= rf(T^), Tl y,- Ty = ^(Ty), </(Ta)+X^/5 = o.

d{^^)-^Yds = O,

c?(Ty) -\-Xds — O.