CHAPITRE VII. — SYSTÈMES DEFORMABLES
Les moments des trois forces — T, Ti, F, par rapport à l’axe des sont respecLvement
— (rTï — ^Tp), jKiTiYi — (yZ — zY) ds,
où nous avons représenté par xyz^ x^y^z^ les coordonnées des extrémités de l’arc ds', la somme des moments de — T et est donc d(yTy — et le théorème des momenis donne
i d(yT^( — zT^)-h(yZ — zY)ds = o,
(2) \d{zYoL — a7TY)-t-(i;X — xZ) ds = o,
( d{xT^ — ^Ta)-i-(a;Y — yX)dsz=.o.
La première des équations (2) peut s’écrire en développant T Y dy -hjK dz — z <^(T h- (yZ — zY) ds = o.
En vertu des équations (i), les termes en et s disparaissent : il reste alors
ydy — ^dz = O,
dy
dz
la deuxième des équations (2) montrerait qu’on a
dx dy dz
ce qui signifie que la tension est tangente à la courbe. On aurait d’ailleurs pu admettre ce résultat en considérant le fil comme la limite d’un polygone funiculaire. La valeur commune des trois rapports est manifestement -±ids\ mais les tensions doivent être dirigées de façon à tendre le cordon : la tension appelée T est donc dirigée dans le sens des arcs croissants et le signe + convient seul; on a donc
En portant dans les équations (i), il vient
et les équations (2) sont des conséquences de celles-ci.
DEUXIEMK PAUÏIE. — STATIQUE.
131. Théorèmes généraux. — Les formules (i) et (2) donnent comme conséquence immédiate ces deux théorèmes :
Si la force F est perpendiculaire et an axe, Ox par exemple, la projection de la tension sur cet axe est constante. En effet, X = O entraîne Ta = const.
Si la force F est constamment dans un meme plan avec un axe, Ox par exemple, le moment de la tension par rapport à cet axe est constant. En effet, yT^ — zX = o entraîne yTy — [j == const.
Ces deux théorèmes sont des cas particuliers du suivant :
Si la force F, tout le long de la courbe, appartient à un complexe linéctire, le moment de la tension par rapport au complexe est constant. En effet, la force appartenant à un complexe Jinéaire, on a une équation de la forme
/îX-h^YH-/’Z-i-a(j^Z — zX) — x2.) c{xX — j'X) = o,,
p, q, r, a, b, c désignant des constantes. Remplaçant, dans cette équation, les termes tels que X [>ar les termes tels
que jkZ — s Y par on obtient une équation
qui s’intégre et donne
pli rj. -\- q"Y ^ -V- l'T a'l{y^( — z^) -V- bT {z% — x^()
H-cT(a7^ — jK3c)= const.,
équation qui exprime que le moment relatif de la tension (n° 28) et du système de vecteurs dont les coordonnées sont p, q, r, a b, c est constant ( Pennachietti, Rendiconti del Circolo math, di Palermo, t. VI).
132. Intégrales générales. — Le cas le plus général est celui où la force F, rapportée à l’unité de longueur, dépendrait de la position et de l’orientation de l’élément ds dans l’espace, ainsi que de sa position sur le lil; alors X, Y, Z seraient des fonctions
de X, y, Z, s, Dans ces conditions, les trois équations
