CHAPITRE VII. — SYSTÈMES DÉFORMABLES

d’équilibre (3) écrites plus haut, jointes à

constituent un système de quatre équations différentielles, qui déterminent .s, T en fonction de a‘. Ces équations sont du

premier ordre par rapport à T, mais du deuxième par rapport à .r, JK, 5 ; il y aura donc, dans les intégrales générales, six constantes qui seront, par exemple, pour une valeur initiale s — Sq, les valeurs

arbitrairement choisies des six quantités On

trouvera ainsi d’une façon générale

X = o{s, Cl, C2, . . Ce), j/ = i|;(5,Gi,G2,...,C6),

Z = üj(5, Gi, G2, . . Gg),

T=/(^,Gi,G2, ...,G6).

133. Détermination des constantes, conditions aux limites. — Il faudra déterminer les six constantes arbitraires par les conditions aux limites. Le problème le plus simple est celui d’un fil de longueur donnée, /, attaché par ses deux extrémités ,

ji, ^i) * prenant pour origine des arcs le point Mq et écrivant que, pour .s = o, s = l, les valeurs de z se réduisent

aux coordonnées des deux points Mq et Mi, on obtient six équations déterminant les six constantes. Il faudra discuter ce système, qui pourra admettre une, deux, et meme une infinité de solutions.

On peut supposer encore que le fil attaché à l’une de ses extrémités, , est terminé à l’autre extrémité par un anneau

infiniment petit pouvant glisseï* sans Irottement sur une courbe invariable G ayant pour équations

On aura d’abord trois équations en écrivant que, pour 5 = o, X, y, Z prennent les valeurs .^o, correspondant au point Mq;

il faudra écrire, en outre, que, pour 5= /, les valeurs Zf

de x^y, Z satisfont aux équations (C) de la courbe et que la direction de la tension, c’est-à-dire de la tangente au point ]VL, est

ICJO

STATIQUE

normale à celte courbe, puisque l’anneau peut glisser sans frottement; nous obtiendrons encore ainsi six équations pour déterminer les constantes.

De même, si une extrémité M< du fil était mobile sans frottement sur une surface donnée, il faudrait exprimer que, pour s = l, les valeurs vérifient l’équation de la surface et que la

tangente en M, est normale à la surface.

134. Cas où la force ne dépend pas de Tare. — 11 arrive fréquemment que X, Y, Z ne contiennent pas explicitement s; en remplaçant alors partout, dans (3), ds par sJ dx- dy- ^ dz- ^ on pourra prendre x pour variable indépendante, et l’on aura trois équations pour déterminer y, s, T en fonction de x\ les intégrales ne contiennent alors que cinq constantes qui sont, par

exemple, les valeurs que prennent j", T, ^ pour la valeur initiale = ^0* Soient

y = o(x, Cl, Ga, ..., Gs),

Z = Cl, G-i, . . . , Gs),

T=f{x,C„C„ ...,Gs)

les intégrales générales. Si l’on veut exprimer que le fil a une longueur donnée et est attaché par ses deux extrémités aux points (xQ^yo^ Zq)^ (xi^ yi^ Zi), on exprime que, pour x = x^, y et Z prennent les valeurs yo, pour x — Xi, les valeurs

jK,, ; en écrivant enfin que la longueur du fil est égale à /, on a les cinq équations nécessaires pour déterminer les constantes.

135. Remarque sur la tension. — La solution trouvée ne sera acceptable que si T est positif en tous les points de la courbe, car, si T était négatif pour un élément, cet élément serait soumis à une pression et non à une tension. On pourra interpréter les solutions dans lesquelles T est négatif en supposant le fil remplacé par un chapelet de sphères solides infiniment petites : chaque sphère subira alors des pressions de la précédente et de la suivante, et l’équilibre subsistera (Poiwsot).

136. Équatiôns intrinsèques de Téquilibre d’un fil. — On appelle ainsi les conditions d’équilibre indépendantes des axes