CHAPITRE VII. — SYSTÈMES DÉFORMABLES

coordonnés. Nous avons déjà désigné par a, p, y les cosinus directeurs de la tangente M^, dans le sens des ares eroissants; désignons par a', y' les cosinus directeurs de la normale principale M/i dirigée vers la concavité 88), et par p le rayon de eourburc.

On connaît les formules de Frenet et Serret

doi a' P' r/y

ds P ’ ds ~ ^ * ds

la première équation d’équilibre

^(Ta)-HX = o

peut donc s’écrire

dT T , ^

ds P

on obtient ainsi les trois équations

Ces équations expriment que F est la résultante de deux segments qui sont portés respectivement sur la tangente et la normale

Fig. 88.

principale, et dont les valeurs algébriques estimées suivant et dT T

M/l sont — force F est donc dans le [>lan oscil-

lateur à la courbe, ^dirigée du côté de la convexité et dans le sens des tensions décroissantes. Ses projections sur la normale princi-

pale, la tangente et la binormale sont données par les formules

/AN T7 T -, dT

P as

qui sont les équations intrinsèques d’ équilibre.

SI la force est constamment normale au fil, la tension est constante, car on a alors = o ; la dérivée de la tension est donc nulle.

137. Formule donnant la tension quand il existe une fonction de forces. — Multiplions respectivement les équations d’équilibre (4) par a, p, y, et ajoutons; en remplaçant a, y par

dx dy dz ^

-j-i -i~y ~ry il vient ds ds ds

dT = — {IL dx -{-Y dy Z dz),

formule qui n’est autre que la seconde des équations intrinsèques (5).

Cette dernière équation est très importante; elle permet de déterminer directement la tension lorsque X, Y, Z, ne dépendant que de oc., y, z, dérivent d’une fonction de forces z). On

a alors, en désignant par h une constante,

dY=:—d\}, T=~(U-+-/t),

formule qui donne la tension sous forme finie sans que l’on connaisse la figure d’équilibre. On portera cette valeur de la tension dans les équations d’équilibre, qui se réduiront alors à deux.

Lorsque U reprend la même valeur, la tension redevient la même; si donc U est une fonction uniforme de z, la tension

est la même en tous les points du fil qui sont sur une même surface de niveau. Mais si U n’est pas une fonction uniforme, si l’on

a, par exemple, ü = arc tang^, les suifaces de niveau sont les

plans y = /??tangC, et lorsque le fil traverse un de ces plans, à plusieurs reprises, la tension peut prendre l’une des valeurs Q±kr.. On pourrait répéter ici, au sujet de cette expression de T, tout ce qui a été dit dans le Chapitre TV au sujet du travail total.

138. Forces parallèles. — Le cas le plus simple est celui où les forces extérieures sont parallèles à une même direction; la