CHAPITRE VII. — SYSTÈMES DÉFORMABLES

figure d’équilibre est alors une courbe plane, dont le plan est parallèle à la direction de ces forces, et la projection de la tension sur une perpendiculaire à cette direction est constante. Ces deux propriétés peuvent être considérées comme résultant des propriétés semblables établies pour les polygones funiculaires; nous allons les démontrer directement.

Supposons l’axe Oy parallèle à la direction commune des forces^ X et Z seront constamment milles; la première et la dernière des équations d’équilibre (3) donnent, en intégrant,

éliminons T entre ces deux équations, il reste

A dz — B dx = O, — Bx = G.

C’est l’équation d’un plan parallèle à Ojg; la première partie de notre proposition est donc démontrée. Prenons alors ce plan pour plan des æy. Nous aurons les deux équations d’équilibre

En tirant T de la première et portant dans la seconde, puis désignant par y la dérivée on a Ja relation

(6) k dy' -\-Y ds — O,

qui est l’équation dilFérentielle de la figure d’équilibre.

Dans le cas le plus général de l’équilibre des fils, la force peut

être fonction des six quantités x,y^z^s^ ici, puisque la

courbe est plane, on a = o et -f* — * • donc Y peut

être fonction de s^y. Dans le cas où Y ne dépend que d’une seule des quantités x^y^s^y', le problème se ramène à des quadratures.

Soit, par exemple, Y = f{x)] en remplaçant ds par sa valeur \J I -\~y- dx^ on volt que les variables y' et x se séparent et l’on a, en intégrant.

AL(y 4- v/i-t-yO dx=C-,

celte équation donne en fonction de x et, par conséquent, y se trouve par une nouvelle quadrature.

Soit encore Y —/{y)] on prend ds — et dans

l’équation (6) les variables sont immédiatement séparées. Dans ce cas, il existe une fonction de forces, et l’on peut calculer la tension directement, comme nous l’avons vu.

L’intégration de l’équation (6) est enfin immédiate .si Y est fonction de s ou de^'.

Équation intrinsèque. — Soient a l’angle de la tangente à la figure d’équilibre avec l’axe des a; et p le rayon de courbure au point de contact.

En écrivant que la composante normale de la force est égale à — en valeur

absolue, on a

Y cosa = — >

et, comme la projection T cosa de la tension sur Ox est une constante A, on a, pour l’équation différentièlle de la courbe,

Y P cos^a = A,

équation qui est identique à (6). Si, par exemple, on avait

cos-a

l’équation précédente donnerait pour p une valeur constante et la figure d’équilibre serait un arc de cercle.

139. Chaînette. — Appliquons ces calculs à la recherche de la figure d’équilibre d’une chaînette homogène et pesante. Galilée avait cru que cette figure d’équilibre était une parabole : l’erreur de Galilée fut corrigée par Huygens.

Soit P le poids de l’unité de longueur de la chaînette; sur un élément ds agit une force, p ds., verticale ; la figure d’équilibre est donc plane et située dans le plan vertical passant par les deux points de suspension. Prenons alors ce plan pour plan des xy et pour axe desji^ une verticale diiigée vers le haut; nous avons

Y ds = — p ds ou Y = — p\

les équations d’équilibre sont (I)

A dy — p ds — O.