CHAPITRE VII. — SYSTÈMES DÉFORMABLES
On peut toujours supposer A positif; T est, en effet, essentiellement positive : donc, si l’on prend sur la courbe un sens de circulation tel que ./•
et s croissent simultanément, ^ sera positif; la constante A sera, par
suite, également positive. Nous pourrons la désigner par pa, a étant une quantité positive. Remplaçons ds par sa valeur
l’équation devient d’où, en intégrant,
on en conclut
y/ 1 -h y 2 cix '.
dy' dx y/n-y2 a
en ajoutant ces deux équations, on a y% et, intégrant de nouveau, on trouve pour l’équation de la courbe
Transportons l’origine au point Oi(a7o, jKo) ^fiS' ^9) j nouvelle équation de la courbe sera
C’est une courbe symétrique par rapport à l’axe Oiyi; l’axe Oi^Tj s’appelle la base de la chaînette.
En retranchant les équations (3) et (4), il vient
v/iH-y
la formule (i) donne la tension ds
La tension en un point M est donc égale au poids d’une portion du fil ayant pour longueur l’ordonnée MQ de ce point au-dessus de la base. Si donc en M on place une poulie infiniment petite, et si on laisse pendre la portion du fil primitivement située au-dessus du point M en la coupant au point Q, l’équilibre ne sera pas rompu.
igO deuxièmh: partie. — statique.
140. Détermination des constantes. — i" Les extrémités sont attachées. — L’équation de la chaînette contient trois constantes Xq, qu’on
détermine par les conditions aux limites. D’après les conventions faites précédemment, la constante a doit être positive. Prenons pour origine le point d’attache situé le plus bas et dirigeons l’axe des x de façon que le deuxième point d’attache soit dans l’angle des coordonnées positives. Soient a, ^ les coordonnées de ce point et l la longueur du fil (voir fig. 89).
Fig. 89.
Exprimons que la courbe passe par les deux points O(o, o) et P(a,
P-ro =
Pour avoir la troisième équation, nous écrirons que le fil a une longueur /. On a
ds — \J I -H =
dx ,
en intégrant entre les limites o et a, on a la longueur du fil
en retranchant (i) et (2), nous éliminerons jo et nous aurons
Les équations (3) et (4) vont déterminer a et Xq. On en déduit aisément
