CHAPITRE VII. — SYSTÈMES DÉFORMABLES. IQ

pour éliminer Xq, il nous suffit de multiplier membre à membre, ce qui donne

la parenthèse est le carré de e~" — e on a donc

Tl semblerait qu’il y a deux signes à considérer; mais, d’après le choix

des axes, a et a sont po'sitifs, par conséquent — e j est positif,

de sorte que le signe + convient seul. Posons -^ = u : l’inconnue u est positive et l’équation en u devient

nous avons à chercher les solutions positives de cette équation. En remplaçant le second membre par son développement en série, on a

Jl'^ — 02 jji nia

Le second membre croît constamment de i à l’infini lorsque u croît de o à l’infini; par suite, pour qu’il y ait une racine positive, il faut et il suffit que le premier membre soit plus grand que i, auquel cas l’équation aura une racine positive et une seule. I^a seule condition de possibilité du problème est donc que

c’est-à-dire que la longueur du fil soit supérieure à la distance des points d’attache. I^orsque cette condition est remplie, on détermine la valeur de M, et, en remontant le cours des calculs, on voit que les trois constantes a, Xo, yo ont un système unique de valeurs ; il y a donc, dans ce cas, une position d’équilibre et une seule.

Soit u' la racine positive de l’équation en w; cette équation admet également la racine négative — u'. Poinsot interprète ainsi cette solution : la chaînette renversée que donne u= — u' est la figure d’équilibre d’une sorte de voûte formée par une suite de billes sphériques solides égales et parfaitement polies, de diamètre infiniment petit.

2® Les extrémités glissent sur deux droites. — Supposons que la chaînette homogène pesante ait une longueur donnée / et que ses extré-

mités A et B soient assujetties à glisser sans frottement sur deux droites données, PQ et PR, situées dans un plan vertical. 11 faut déterminer les constantes yoi de façon que la chaînette coupe normalement les deux droites et ait entre ces deux droites une longueur donnée l = arc AB.

Proposant la solution analytique comme exercice, nous donnerons une solution géométrique du problème en nous appuyant sur ce que deux chaînettes ayant leurs bases parallèles sont homothétiques, et que, réciproquement, la figure homothétique de toute chaînette ayant sa base horizontale est une autre chaînette placée de la même manière. Imaginons une chaînette auxiliaire G' à base horizontale, et menons-lui des normales A'P' et B'P' parallèles aux droites données QP et RP, ce qui est toujqurs possible d’une seule manière, car, x variant de — 00 à 00, le coefficient angulaire de la tangente à une chaînette passe une fois et une seule fois par toute valeur donnée : l’arc A' B' aura une certaine longueur V . En transportant l’angle A' P' B' avec l’arc A' B' sur l’angle P en A"PB", on aura un arc de chaînette A" B", de longueur à base horizontale, normal aux deux droites données. L’arc cherché AB est alors homothétique de A"B" par rapport au point P, car les tangentes aux deux arcs en A et A" sont parallèles ainsi qu’en B et B"; le rapport d’iiomo-

thétie est Il suffira donc de faire correspondre à chaque point M' de

PM l

l’arc A" B" un point M tel que ~ 7' ’ point M décrira Parc cherché. La solution est donc unique ; on voit de plus qu’en disposant plusieurs chaînettes de longueurs différentes en équilibre sur les deux droites dans les mêmes conditions que la proposée, elles sont toutes homothétiques par rapport au point P.

141. Forces centrales. — La figure d’équilibre est une courbe plane dont le plan passe par le point de concours des forces; et le moment de la tension par rapport à ce point est constant.

Ces propositions pourraient être considérées comme résultant des propositions analogues établies pour les polygones funiculaires; nous allons les démontrer directement.

Nous avons vu (n" 131) que, si le moment de la force F par rapport

CHAPITKE VII. — SYSTEMES DEFORMABLES.

à un axe est constamment nul, le moment de la tension par rapport à cet axe est constant.

Puisque les forces extérieures sont concourantes, nous pouvons prendre le point de concours pour origine; le théorème ci-dessus s’applique aux trois axes et donne

^ ds )

dz\

^ ds)

multiplions ces équations respectivement par x, y, -z, et ajoutons-les membre à membre; il vient

Ax H- By -h Cz = O.

La courbe d’équilibre est donc plane et son plan passe par l’origine.

Si l’on prend alors ce plan pour plan des xy, et si l’on désigne par F la force par unité de longueur, considérée comme positive si elle est répulsive, et comme négative si elle est attractive, les projections de cette force seront

X = FÏ,

Les équations d’équilibre se transforment comme il suit {fig. 91).

Fig- 9*-

L’équation des moments par rapport à donne, avons-nous vu,

et l’on a d’autre part

dT -h X dx -h Y dy = o ;

en introduisant les coordonnées polaires ;• et 6, ces deux équations deviennent

olT -f- F dr = O.

Le cas le plus simple est celui où F est une fonction o(r) de Il y a alors une intégrale première facile à trouver ; en effet, il existe une fonction des forces, et T s’obtient par une quadrature

T= — f o{r)dr — /i=zW(r);

ayant la tension, on trouve aisément l’équation différentielle de la courbe d’équilibre, en remplaçant T par sa valeur dans la première des équations, qui devient alors

= G ds,

équation qui s’intégre par des quadratures ; en effet, ds- — dr- -f- 7’'^ 6/02 ;

en substituant dans l’équation précédente élevée au carré, et résolvant par rapport à c?6, on a pour l’équation de la courbe

Cdr

/V7-2[W(/-)J2— C2 Si l’on suppose, par exemple, F = /c (constante), on a T = \\P(r)= — /cr — h;

l’équation de la courbe dépend d’une intégrale elliptique; mais, si l’on astreint T à avoir la valeur T = — kr{k < o), la courbe cherchée est une hyperbole équilatère de centre O.

Équation intrinsèque . — Soit V l’angle de la tangente au fil avec le rayon vecteur OM prolongé : la distance de la tangente au pôle O est rsinV {fig. 91); donc, en écrivant que le moment de la tension est constant, on a

T/'sinV = G.

Puis, écrivant que la projection de la force F sur la normale est —y on a

FsinV =

L’élimination de T entre ces deux relations fournit l’équation

F P 7’ sin2 V = G, qui est l’équation différentielle de la courbe.

142. Exemple d’un cas dans lequel il existe une infinité de positions d’équilibre. — Un fil est attaché en deux points de l’axe O a?, et chaque

CHAPITUli VII. — SYSTÈMES DÉFORMABLES.

élément du fil est repoussé par l’axe proportionnellement à sa longueur et à sa distance à l’axe. Ce problème se présente quand on cherche la figure d’équilibre relatif d’un fil non pesant tournant avec une vitesse angulaire constante autour d’un axe fixe C)x {corde à sauter).

Toutes les forces agissant sur le fil rencontrant Oa?, le moment de la tension par rapport à cet axe est constant tout le long du fil; mais, comme le fil est attaché en deux points de l’axe, le moment de la tension aux extrémités est nul; ce moment est donc constamment nul et l’on a

d’où

dv dz

— y=inz,

m élant une constante. La figure d’équilibre est donc dans un plan passant par l’axe Ox. Prenons ce plan pour plan des xy', la force agissant sur l’élément ds est perpendiculaire k Ox^ répulsive et proportionnelle à l’ordonnée y :

Y ds = [t-y ds.

Les équations d’équilibre sont donc

-f- iiy ds = o:

la première donne T — = A, où l’on peut toujours supposer A positif en

comptant les arcs s dans un sens tel que x croisse avec 5; en portant cette valeur de T dans la deuxième équation et posant

ds = dx \/ 1

dy y/ ]

on a l’équation

et en intégrant

y dy lydy \/ 1 -h y''^

/ TT

62 désignant une constante nécessairement positive puisque le premier membre est positif. Isolant le radical, élevant au carré et remettant pour

y' sa valeur on a dx

dx = dz

«2 cly

V'(62 — JK2)2—

Gomme le fil est attaché à l’axe Ox, l’équation doit donner une valeur réelle pour y' quand jk = o; donc a‘^. En désignant par o{y) le polynôme bicarré placé sous le radical, on a

y partant de zéro ne peut varier qu’entre — \/b^ — et —

Construisons la courbe. Supposons que le fil soit attaché en 0\{Jig. 92)

Fig. CJ2.

et qu’il soit situé dans l’angle jk O x : alors x croît d’abord avec jy positif, et l’on a

y croissant, x croît jusqu’à ce quejy = s/b"^ — ; x atteint alors la valeur

on a ainsi la branche OAi ; la tangente en Ai est horizontale. A partir de cette valeur, y décroît et, pour que x continue à croître, il faut prendre le signe — devant \]^^{y) : on a ainsi une nouvelle branche AiMiOi symétrique de la première OMAi par rapport à l’ordonnée Ai B,, car à des variations égales de y correspondent des variations égales de x. Pour y = O on obtient le point Oi d’abscisse 2^; puis y devenant négatif peut décroître jusqu’à la valeur — \Jb‘^ — a" : l’abscisse croît toujours jusqu’à la valeur 3^, ce qui donne le point A2, où la tangente est horizontale. Ensuite y augmente de nouveau de — \^b‘'- — a'^ à il faut

prendre, à partir de A2, le signe -h devant le radical, et l’on obtient l’arc A2O2A3 coupant l’axe au point O2 d’abscisse 4 1, etc. Les boucles successives ainsi obtenues sont toutes égales à la première. La courbe est donc analogue à sinusoïde .

Les équations s’intégrent aisément par les fonctions elliptiques. Faisons dans l’équation (G) de la courbe

(I) y = ts/b^-a\

CHAPITRK VII. — SYSTÈMES DÉFORMABLES.

elle prend la forme suivante :

d’où

i = sn

ak'

La différentielle ds de l’arc de courbe est

— y’^)dy,

en faisant dans cette formule la substitution (i) ci-dessus, on trouve pour l’abscisse ^ du point Aj et la longueur \ de la demi-boucle OAi les deux expressions

I > ^ f \i~\~ k‘^ — ik‘^t^-)dt

car le point A^ s’obtient en faisant if = i.

Quand X et ^ sont donnés^ \ étant supérieur à car l’arc OÂj est supérieur à sa projection OBi, les constantes a et A;2 ont un seul système de valeurs, sous la condition /c2<<i. En effet, en calculant X — \ et X -Ion trouve

Pour 7t2 = O, le rapport du second membre est nul; 7:2 augmentant, le numérateur augmente évidemment et le dénominateur diminue : donc le rapport augmente, et pour 7:2= 1 le rapport est i. Ce rapport passe donc

une fois et une seule fois par la valeur donnée

. La constante Jy- a

donc une valeur et une seule; l’expression (2) de ^ donne alors pour a une

seule valeur

Détermination des constantes. — Le fil ayant une longueur donnée l et étant attaché au point O et au point O’ de l’axe O.r d’abscisse a, il y a une infinité de cas possibles.

2o4 DEUXIÈME PARTIE. — STATIQUE.

1“ Le fil n’a qu’une onde entre O et O' {fig. gS). Alors ^ est la moitié de a, X la moitié de l. Les quantités ^ et X étant connues, la constante

■2" Le fil a deux ondes entre O et O'. Alors ^ = -, X = /r^ a la même

valeur que dans le cas précédent, car i \ est le même \ ensuite

En oénéral, si le fil a n ondes entre O et O', $ = > X = — ^ > /c^ a

^ 1 1l ‘î II

toujours la même valeur, mais a —

Il y a donc une infinité de positions d’équilibre qui sont toutes homothétiques de la première par rapport à O, les rapports d’homothétie

étant -y -■>

143. Équilibre d’un fil sur une surface. — Soit f{x^ y, z)=o l’équation de la surface, rapportée à trois axes rectangulaires. Le fil étant soumis à des forces extérieures continues, nous désignerons par F(X, Y, Z) la force rapportée à l’unité de longueur au point considéré.

Le fil pouvant glisser sans frottement, la réaction de la surface sur l’élément ds est normale; soit N cette réaction rapportée à l’unité de longueur : ses projections sont

le fil peut être considéré comme en équilibre sous l’action des forces ¥ds et Nc/.y, qui ont une résultante ^ds. En appliquant les formules générales de l’équilibre des fils, on a les trois