Z ds ds

âz

qui, jointes à

déterminent y, T, \ en fonction de s. \ étant connu, on connaît la réaction normale qui est dirigée, par rapport à la surface f=i O, du côté où y* devient positif ou négatif, selon que X est positif ou négatif. Gomme pour le cas d’un fil libre, si X, Y, Z ne contiennent pas explicitement 5, on peut réduire à quatre le nombre des inconnues en remplaçant partout ds par

v/ dx‘^ -+- -H dz'^^

et l’on calcule, par exemple, T et X en fonction de x.

Pour déterminer la tension, rappelons que nous avons trouvé dans le cas générai

( 2 ) dT — — (X dx Y dy dz).

Ici cette formule devient

le fil étant entièrement situé sur la surface, le coefficient de X est nul : il reste alors la même formule (2) que dans le cas d’un fil libre; s’il j a une fonction des forces U(x,y, z)j on a

dT= — dU, T = — (U -4-/1).

Par exemple, si l’on place im fil homogène pesant sur une surface, en prenant un axe Oz vertical dirigé vers le haut, la force F est parallèle à cet axe, dirigée en sens contraire et égale en valeur absolue au poids /> de l’unité de longueur du fil; on a alors

dT = /? dz^ T = p{z — h).

Considérons le plan fixe ^ = /^ : la formule ci-dessus montre que la tension en un point M est égale au poids d’une portion du fil égale à la distance MQ du point M à ce plan. Si donc on supprime la partie MB du fil

et qu’on en laisse pendre une portion égale à MQ, en plaçant une petite poulie en M, l’équilibre ne sera pas rompu.

144. Exemples. — i” Lignes géodésiques. — Le cas le plus simple est celui d’un fil tendu sur une surface sans être sollicité par des forces autres que la réaction normale N; l’équation précédente se réduit alors à <^T = o, et la tension du fil est constante. Le fil xa se disposer suivant une ligne géodésique de la surface; le plan osculateur en un point, devant, en effet, contenir la forcé IN, sera normal à la surface, ce qui caractérise les lignes géodésiques.

Appliquons ceci à la sphère : les réactions passant par le centre, le fil est sollicité par des forces centrales ; sa figure d’équilibre sera donc dans un plan passant par le centre; ce sera par suite un arc de grand cercle.

On sait que la ligne la plus courte joignant deux points sur une surface est l’une des lignes géodésiques passant par ces deux points; mais il est inexact de dire que chacune de ces lignes est minima par rapport aux lignes infiniment voisines. Par exemple, l’arc de grand cercle plus grand que i8o", qui joint deux points sur une sphère, est une ligne géodésique; et cependant il est possible de trouver entre les deux points un chemin infiniment voisin et plus court. Sur un cylindre fermé, au contraire, les lignes géodésiques qui sont des hélices sont toutes minima. 11 y a une infinité de ces lignes joignant deux points du cylindre : on les obtient en tendant un fil sur la surface entre les deux points, après l’avoir enroulé une fois, deux fois, .. ., fois autour du cylindre.

2° Chainette sphérique. — La figure d’équilibre d’un fil homogène pesant sur la sphère a été étudié par Bobillier (Gergonne,i829), par Minding {Ci'elle, t. 12), puis {Ibid., t. 33) par Gudermann qui donna les expressions des intégrales à l’aide des fonctions elliptiques; la solution fut complétée par Glebsch {Crelle, t. 57, § 6), par Biermann {Dissertation inaugurale, Berlin, i865) et par Schlegel {Programm des Kôniglichen Wilhelms Gymnasium, Berlin, i884).

En prenant le centre de la sphère pour origine, pour axe des z la verticale vers le haut et appelant p le poids de l’unité de longueur du fil, on