CHAPITRE I. — THÉORIE DES VECTEURS

lion Bgi est aussi égale en valeur absolue à 2 aire expres-

sion évidemment indépendante du choix du point B sur Taxe A. Le signe de cette projection B^, est aussi indépendant du choix

Fig. 7.

du point B : ce signe est -f- ou — , suivant qu’un mobile parcou' rant P, tourne autour de A dans le sens positif ou le sens née:atif.

On conclut de là diverses expressions du moment d’un vecteur P, par rapport à un axe.

Appelons 8 la plus courte distance du vecteur à l’axe et G l’angle du vecteur avec l’axe; 8 se projette en vraie grandeur sur le plan 11^ Pt est égal à P^ sinG, et le moment est

OTLi =: zt/?i S = ± Pj Ô sin6,

où il faut prendre le signe -h ou le signe — suivant qu’un mobile parcourant le vecteur A^ P< tourne autour de l’axe A dans le sens positif ou le sens négatif.

Prenons sur l’axe A dans le sens positif un segment BP2 de longueur P2, et désignons par vol (Pi , P2) le volume du tétraèdre ajant At P^ et BP2 comme arêtes opposées, ce volume étant pris positivement ou négativement, suivant qu’un mobile parcourant l’un des vecteurs P4 ou P2, de l’origine vers l’extrémité, tourne autour de l’autre, dans le sens positif ou le sens négatif. Le moment de P< par rapport à l’axe A est alors

6vol(Pi, P2)

En effet, l’égalité a lien en signe; elle a lien aussi en valeur absolue, car le volume du tétraèdre considéré ne change pas quand on fait glisser les sommets A, et P^ jusqu’en et /?<, ce qui donne un nouveau tétraèdre dont le volume V est le tiers du produit de P2 par l’aire la valeur absolue du moment

2 aire<2^ ByOi est donc égale à 6V divisé par P2.

Remarque. — Prenant le moment JlI/^ sous la forme dz P, ô sin6, on voit qu’il est nid quand l’un des trois facteurs est nul, c’està-dire quand le vecteur est nul ou quand il est dans un même plan avec l^axe.

9. Expressions analytiques des moments d’un vecteur par rapport aux axes de coordonnées. — Soit(^^. j ) un vecteur P, d’origine A, et d’extrémité B,; appelons .2?,, jki , les coordonnées du point d’application A^, et X,, Y,, Z, les projections du vecteur sur les axes 0.2?, Oy, O z. Le moment N, du vecteur par rapport à l’axe O .s est le double de l’aire de la projection du triangle OAi B< sur le plan xOy, cette aire étant affectée d’un signe suivant les conventions précédentes. Or l’un des sommets du triangle projeté est en O, les deux autres ont pour coordonnées dans le plan xOy,:

Projection de Al. .. Xi jKi

Projection de Bi .Ti-hXi jki-I-Yi

D’après une formule élémentaire donnant l’aire d’un triangle dont un sommet est à l’origine, on a donc, en grandeur et en signe,

Ni = Y,)— Xi) = Yi — ^nXi.

On a de même, pour les moments Li et Mi du vecteur par rapporta Ojt et Oy,

Li = ^i Z 1 — ^ 1 Yi , M ] = ,3] Xi — Æ?i Z ] .

Calcul du moment linéaire. — Le moment OG, du vecteur Pi par rapport à l’origine O est un vecteur ayant pour projections sur les trois axes les quantités Li , Mi , Ni, d’après la définition même du moment par rapport à un axe.