CHAPITRE VII

SYSTEMES DEFORMABLES.

a d’abord pour la tension T la valeur /? (.s — 'h) (n" 143). Gomme la résultante des forces (poids et réaction normale) qui agissent sur ds est constamment dans un même plan avec Oz, le moment de la tension, par rapport à cet axe, est constant. On a donc, en prenant des coordonnées polaires r et 6 dans le plan ocOy,

T = G ds,

G étant une constante arbitraire. Remplaçons, dans cette équation, T par sa valeur et G par A/?; nous avons

{z — /i)/’2 1/0 = A ds,

qui est l’équation différentielle de la figure d’équilibre. Pour intégrer cette équation, élevons les deux membres au carré et remarquons que

ds^ = dr^-^- J'- g?02 h- dz"^ = - — H r- d^^,

à cause de la relation

r = sja’^ — z‘*-,

où a désigne le rayon de la sphère. Nous avons, en résolvant par rapport à d^,

Ka dz

{a‘^— z^-) s/{h — zy^ {a'^ — z'^) —

ce qui donne 0 en .s par une quadrature. La variable z ne peut prendre que des valeurs rendant positif le polynôme

Cp(^) = (/l— ^)2(«2^2)A2;

donc, en appelant Zq le z d’un point du fil, par exemple d’un des points d’attache, on a ç (^o) > o ; d’ailleurs «p (a) et cp ( — a) sont < o; le polynôme <p {z) a donc une racine a entre Zq et a, une autre ^ entre Zo et — a : la variable ne pourra varier qu’entre les limites a et La courbe sur la sphère sera comprise entre deux parallèles a et ^ qu’elle touchera successivement. On peut exprimer les coordonnées æ, y, z d’un point de la courbe en fonctions uniformes du paramètre u défini par l’équation

, a dz

du = -■ - •

(Voyez Bulletin de la Société mathématique, i885.)

145. Équations intrinsèques de Réquilibre d’un fil sur une surface.

— Soient AA' la courbe d’équilibre, A if la tangente en A dans le sens des arcs positifs, A/i la normale à la surface en A comptée positivement dans le sens qui va du point A au centre de courbure O de la section normale

menée par A et U le rayon de courbure AO de cette section. Si G est le centre de courbure du fil au même point A et AG = p le rayon de courbure du fil, on a, d’après le théorème de Meusnier, p = R cos 6, 6 désignant l’angle GAO. Appelons enfin Ap la projection de la direction AG sur le

Fig. 95.

plan tangent à la surface en A. L’élément ds du fil est sollicité par la force donnée F ds et par la réaction normale N ds comptée positivement dans le sens AO. La résultante (JN)-h(F) des deux forces N et F est, d’après les équations intrinsèques de l’équilibre d’un fil libre, égale à la résultante clT! T

des forces — et — — dirigées respectivement suivant At et AG. Donc

la somme des projections de F et N sur un axe égale la somme des pro-

jections de — et — — sur le meme axe. Projetons successivement

sur A^, Ap, An, en appelant F^, F^, F,i les projections de F sur ces trois axes. Nous avons

-|sinO = F,

cosf

La dernière de ces équations donne la réaction N :

Les deux premières sont les équations intrinsèques de l’équilibre du fi sur la surface; dans ces équations, est le j'ayon de courbure géodéA sique du fil.

Par exemple, pour la chaînette sphérique (n” 144), F,i désigne la projection du poids p sur le rayon de la sphère : F,i est donc égal k p comme R est égal au rayon a de la sphère et T à p{z — A), la réaction normale pour la chaînette sphérique est — ^ (2 s — h). Si l’on suppose