III. — ÉTUDE D’UNE INTÉGRALE DÉFINIE

146. Problème de Géométrie. — La recherche de la figure d’équilibre d’nn fil dans le cas où il existe une fonction des forces peut être rattachée d’une façon intéressante à la recherche du maximum ou du minimum dfine certaine intégrale définie, qui s’offre aussi dans la détermination des courbes brachistochrones, dans la démonstration du principe de la moindre action et dans le problème général de la réfraction.

Soit z) une fonction continue des coordonnées carté-

siennes d’un point, définie dans une région de l’espace dans laquelle seront situées toutes les courbes dont nous nous occuperons. Nous résoudrons d’abord le problème de Géométrie suivant :

Parmi toutes les courbes joignant deux points fixes A et ^ ifië' 96), trouver celles qui rendent V intégrale

JP (B)

maximum ou minimum. Dans cette intégrale, ds désigne un A. - I. i4

élément de longueur de la courbe, et l’intégrale est supposée étendue à toute la courbe de A en B. On conçoit facilement que, pour certaines courbes G, l’expression I soit un maximum ou un

Fig. 96.

minimum; par exemple, si la fonction cp(.r, j/, z') est positive pour toutes les valeurs de s, l’intégrale I est positive et ne

peut pas devenir nulle : il j a donc évidemment un minimum. En particulier^ si co(^, ^)= i, l’intégrale 1 a pour valeur la lon-

gueur de la courbe joignant les points A et B; la courbe G qui réalise le minimum est alors la droite AB.

Soit, d’une manière générale, G la courbe ({ui réalise le maximum ou le minimum de l’intégrale : exprimons les coordonnées x^y^ Z d’un point M de cette courbe en fonction d’un paramètre q qui variera de a à 6 quand le point M décrira l’arc AMB; désignons par x\ y\ z' les dérivées de x, y, z par rapport à ^ et posons

nous avons

ds = )^ dq ^

et l’intégrale I le long de G a pour valeur

1= / y, z)V^dq .

Pour exprimer que I est un minimum, il faut exprimer que la valeur 1, de la même intégrale, prise le long d’une courbe quelconque Gi infiniment voisine de G et allant de A en B, est supérieure à 1.

Soient Ç, 7), Ç trois fonctions arbitraires de q^ s’annulant aux limites a et è et ayant pour dérivées t)', posons

£ désignant une constante infiniment petite. Lorsque q varie de a