CHAPITRE VII. — SYSTÈMES DÉFORMABLES

à ]e point M, de coordonnées i décrit une courbe G,

infiniment voisine de G et allant de A en B. On a le long de G,

Pour évaluer la différence I, — I, c’est-à-dire la variation 8f. que subit l’intégrale quand on passe de la courbe G à la courbe G|, développons G suivant les puissances croissantes de £, en nous arrêtant aux termes du second ordre en s. On a

-Si) == + r + ^ +

,3 /„éR ,dH ^,éR\

où l’on écrit cp au lieu de (ÿ(x, y, z). Multiplions membre à membre, nous avons

? ( , jKi , — cp R

Td /y?

+ cÿ d?)J

Multiplions les deux membres par dq et intégrons de a à en remarquant que

dR dy éR ^

dy' ds ’ ~dz' ds ’

^ , , dR x' dx

Rdq = ds, —, = - = —

^ dx R ds

nous avons

( ,.,dx , dy ^,dz\ ,1

Faisons disparaître r\\ par l’intégration par parties : nous avons

dx dx V’ >■ 1 ( dx\

et deux formules analogues pour les termes en et Donc

enfin

La partie intégrée est nulle, car sont nuis aux limites a

et h. Pour que l’intégrale I le long de la courbe G soit un maximum ou un minimum, il faut que le signe de L — I reste constant pour toutes les valeurs infiniment petites positives ou négatives de £ : il faut donc que le coefficient J !de £ soit nul, car autremeni , pour des valeurs suffisamment petites de £, la différence G — I aurait le signe de gj. Pour qu’il y ait maximum ou minimum, il faut donc que l’intégrale appelée J soit nulle, et cela quelles que soient les fonctions vj, Ç qui ont été choisies arbitrairement. Or cette condition exige que, dans l’intégrale J, les coefficients de 7), Ç soient identiquement nuis; car, s’ils ne l’étaient pas, en choisissant pour Tj, Ç des fonctions ayant pour chaque valeur de q les mêmes signes que leurs coefficients respectifs, on rendrait positifs tous les éléments de l’intégrale J qui serait évidemment différente de zéro. La courbe cherchée G qui réalise le maximum ou le minimum doit donc vérifier les équations

qui se réduisent à deux, comme on le vérifie immédiatement en les ajoutant après les avoir multipliées respectivement par

dy dz ds ’ ds

et en ayant égard aux relations bien connues

dx dx dy dy ^,z dz

ds ds ds ^ ds ds ds