CHAPITRE VII
SYSTEMES DEFORMABLES.
de Cl infiniment voisin de M seront
Xx = x-\-^x^ yi=y-h^y, Zi = z-+-^z,
en modifiant un peu les notations du n° 146 et désignant, pour abréger, par les quantités appelées précédemment ev], eÇ.
D’après le calcul du n° 146, la variation Si que subit l’intégrale I, quand on passe de la courbe G à la courbe Ci, ayant les mêmes extrémités, est, en négligeant les termes en
Dans le cas actuel, cette variation SI doit être nulle quand on passe de la courbe G, non plus à une courbe voisine quelconque, mais à une courbe infiniment voisine située sur la surface. Les variations Sa?, Sj^, S^ ne sont plus arbitraires toutes les trois; en désignant par
l’équation de la surface S, on aura la condition
df rs df d/ ^
f-ÙX f-6Y ->r f-OZ — O,
àx ây âz ’
qui exprime que la variation de f(x.,y,z) est nulle quand on passe de G à Gi, et qui montre que l’une des trois variations Sa?, par exemple, est fonction des deux autres Sj^ et S2, qui restent arbitraires. D’après cette condition, on a, en désignant par X une fonction quelconque.
df r.
f- ÙX
ox
dy dz
ds = O.
Retranchons cette intégrale nulle de celle qui donne Si; nous aurons
où le terme en S^ est analogue aux deux premiers. Gette variation SI devra être nulle quels que soient X, Sjk et S^. Nous pourrons disposer de X de façon à annuler le coefficient de Sa? : la quantité sous le signe d’intégration ne contiendra plus que les termes en hy et S^, et, comme Si doit être nul quels que soient Sj- et S^, les coefficients de ces deux variations devront être nuis aussi. Donc, pour une détermination convenable de X,
on aura les trois équations suivantes, que nous écrivons, en changeant les signes,
ces équations, jointes à l’équation de la surface, déterminent les courbes G cherchées.
Or, ce sont précisément les équations d’ équilibre d’un fil placé sur la surface S, la fonction des forces étant — cp et la tension <p. On retrouve donc un résultat identique à celui qui a été obtenu pour le cas des courbes dans l’espace.
Exemple. — Si cp = i, l’intégrale I donne la longueur de la courbe AB; si donc on cherche les courbes de longueur minimum tracées sur la surface de A en B, on trouve les figures d’équilibre d’un fil qui est tendu sur la surface et qui n’est sollicité par aucune force directement appliquée (n" 144).
150. Réfraction. — Nous allons montrer rapidement comment cette
même intégrale ^ ^lyX., y., z) ds se rencontre également dans le problème
général de la réfraction. Ce fait a déjà été remarqué, du moins dans des cas simples, par Maupertuis, Jean Bernoulli, Euler ; Laplace a même rattaché à ce point de vue la théorie de la double réfraction (^Mémoires de l’Institut, 1809).
Quand un rayon lumineux passe du vide dans un milieu homogène limité par une surface quelconque S, il suit les deux lois suivantes :
1° Le rayon incident AP, le rayon réfracté PA^ et la normale PN à la surface S sont dans un même plan.
2” On a {fig. 100)
sin i
sinr ’
i étant l’angle APN, r l’angle Ai P Ni et n une constante appelée indice de réfraction du milieu par rapport au vide ou indice absolu de réfraction.
Soient deux milieux homogènes (M) et (Mi) séparés par une surface S, n et nx les indices de réfraction absolus des deux milieux; si un rayon lumineux passe du premier milieu dans le second, la première loi est la même et l’on a
sint n\ sinr n
