CHAPITRE I
THEORIE DES VECTEURS
Changement d’ origine. — Si l’on prend louL autre point O' de coordonnées x\ y, s', les coordonnées du point A< par rapport à de nouveaux axes, parallèles aux premiers, ayant pour origine le point O', sont x^ — — y, — z’ . Les projections du
vecteur sur ces axes restent X< , Y^, Z, ; ses moments, par rapport aux nouveaux axes, deviennent
^ =(ri— y)^i — (^1—
M'i = (Zi—z')Xi — (a;i — x')Zi,
N'i = {xi — d)Yi — (yi—y)Xi,
expressions obtenues en remplaçant, dans L^, M<, Ni, Zi
par Xi — x\ — y, Zi — z’. Le moment O'G' du même vecteur par rapport à O' est un vecteur avant pour projections L' M' N'. On peut écrire aussi, d’après les valeurs de L,, Mj, IN,,
L' - if Zi- Z’ Y y
M'i = Ml — (z'Xi — ip'Zi),
N'i -Ni-(^'Yi-yXi).
10. Les cinq coordonnées d^un vecteur localisé sur une droite. — Les six quantités Xi , Yi, Zi, Li, Mi, N< vérifient l’identité L, Xi +]VL Yi Zi = O qui exprime que le moment linéaire OGi est perpendiculaire au vecteur AiB<. Réciproquement, soient six quantités arbitraires X, , Y, , Z, , Li , Mi , N| dont les trois premières ne sont pas toutes milles et qui vérifient ^identité
L1X1+ Ml Yi-+-NiZ,= o;
les équations
Li = yZ,-.sY,, M, = .sXi — :rZi, Xi = xY^ — yXi,
où x^ y, Z désignent des coordonnées courantes, représentent une droite D, car, en vertu de l’identité admise, elles se réduisent à deux. Soit Al un point arbitraire pris sur cette droite; le vecteur Pi, d’origine Ai et de projections Xi, Y,, Zi, est dirigé suivant la droite D et a pour moments, par rapport aux axes, L,, Ml, Ni. Les six quantités Xi, Y,, Zi, Li, M,, Ni sont les coordonnées du vecteur glissant P^, d’après Plücker. Sur ces six quantités, cinq peuvent être prises arbitrairement.
l4 PREMIÈRE PARTIE. — NOTIONS PRÉLIMINAIRES.
11. Moment relatif de deux vecteurs Pj et P2. — On nomme ainsi la quantité 6 vol(Pi, P^) définie précédemment 7). L’expression algé-
brique de cette quantité s’obtient immédiatement d’après la formule élémentaire de la Géométrie analytique qui donne le volume d’un tétraèdre en fonction des coordonnées de ses sommets. Appelons Zi les coor-
données du point Ai; Xj, Yi, Zi les projections de Pi sur les trois axes, et Li, Ml, Ni ses moments par rapport aux trois axes; appelons, de même, ^2; ^2 ies coordonnées de B; X2, ¥5, Z3 les projections de P2, et L2,
M2, N2 ses moments. On aura, en grandeur et en signe, en supposant les axes Ox, Oy, Oz rectangulaires et orientés de façon qu’une rotation de 90° dans le sens positif autour de Oz amène Ox sur Ojk,
Zi I
développant, après avoir retranché la première ligne de la deuxième et la troisième de la quatrième, on a
6vo1(Pi,P2) = LiX2-hMiY2 4-NiZ2 4-L2Xi-+-M2Yi-i-N2Zi, ou encore, si l’on remarque les identités Li Xi -t- Mi Yi -t- Ni Zi = o,
6vol(Pi.Po)— (Li-f-L2)(Xi-h X2 )
-f- (MiH- M2)('’i-i H~X2) -f-fNi-f- N2)(Zi-h Z2).
yx
£Pl -f- Xi
1^. Expression analytique du moment par rapport à un axe quelconque. — Soit un axe A ( /ig. 8) sur lequel on a pris comme sens positif le
Pig. 8.
sens O'O", allant du point O' de coordonnées {x' , y',z') à un point O" de coordonnées {x'' , y'\ z"). Les projections X2, Y2, Z2 du vecteur O' O", qui va jouer le rôle de P2, et les quantités L2, M2, N2 relatives à ce vecteur sont respectivement
