PA

ôjz

pâ;

+ ni

(y — ) -h {z. — Cl )

PAi

qui, jointes à l’équation de la surface, déterminent les coordonnées du point P. Ce point étant ainsi déterminé, faisons un changement d’axes coordonnés : prenons le point P pour origine loo), pour axe des z la

normale du côté du point A, pour plan des zx le plan contenant le point A de telle façon que l’ordonnée 6 de A devienne nulle, a et c étant positifs.

Les quantités ^ relatives au point P sont alors nulles et les

équations ci-dessus deviennent

na ri\a\ ,

PA PAi

La seconde de ces équations montre que le point A^ est aussi dans le plan ce qui est la première loi de la réfraction : la première indique

que «1 est négatif et donne, si Ton appelle i et r les angles de AP et PAi avec la normale P^,

/I sinf — 72 1 sinu = o,

car et — sont égaux à sin f et sinr; ce qui est la seconde loi de PA '

la réfraction. Ainsi le minimum cherché est fourni par le trajet d’un rayon allant de A en A^.

Imaginons maintenant plusieurs surfaces Si, S2, ..., Sp séparant des milieux homogènes. Soient, au-dessus de Si, un milieu d’indice absolu /i ; entre Si et S2 un milieu d’indice ni; entre S2 et S3 un milieu d’indice n2, ... ; enfin, au-dessous de Sp, un milieu d’indice rip. Prenons un point A dans le premier milieu, un point B dans le dernier, et considérons un polygone AP1P2P3 . . . PpB ayant un sommet sur chaque surface, allant du

Fig. loi.

point A au point B. Si l’on cherche {/i§'. 101) quel doit être ce polygone pour que la somme

a = 72 AP i-l-72iPiP2-f- 722 P2P3“i~...“F^^/jf*/jP

soit minimum, on tiouve, d’après ce qui précède, que ce polygone doit être le trajet d’un rayon lumineux allant de K en ^ et suivant les lois de la réfraction.

Supposons enfin que le nombre des surfaces augmente indéfiniment, de façon que les côtés du polygone tendent vers zéro, ainsi que les différences 72 — 72|, 72i — 722, • • • 5 l ensemble des milieux considérés devient un milieu continu dans lequel l’indice de réfraction absolu n est une fonction continue e^{x,y,z) des coordonnées. Le polygone suivi par le rayon