IV. — ÉLASTIQUE PLANE

151. Tension et moment fléchissant. — Soit une tige élastique liomogène très longue par rapport à son épaisseur, ayant sur toute sa longueur la même section droite. On appelle fibre moyenne de la tige la courbe lieu des centres de gravité des sections droites. L’état équilibre naturel de la tige est la forme qu’elle prend quand aucune force tendant à la déformer n’agit sur elle, par exemple quand elle est posée sur une table. Si l’on fait agir sur la tige des forces tendant à la fléchir, elle change de forme et jirend un nouvel état d’équilibre appelé état équilibre contraint correspondant aux forces données. Nous traiterons ici le ( as le plus simple de l’équilibre de l’élastique plane. Tout d’abord, nous indiquerons quelques propositions générales relatives à ce genre de problèmes.

Imaginons une lige élastique dont la fibre moyenne affecte, à l’état naturel, la forme d’une courbe plane Co, et soit po la valeur du rayon de courbure en un point M de celle courbe. Supposons ensuite qu’on déforme la tige sans changer sa longueur, en faisant agir sur elle des forces quelconques, mais de telle façon que la fibre moyenne reste plane et prenne une nouvelle forme G. Le rayon de courbure en M devient alors p. Dans cette position d’équilibre contraint, les forces élastiques sont déterminées d’après les lois suivantes :

Si l’on coupait la tige en M, pour maintenir l’équilibie il faudrait appliquer à la section en M une force T dans le plan de

la courbe G et un couple dont l’axe est perpendiculaire à ce plan et dont le moment {^moment fléchissant) N est proportionnel à la

variation de la courbure :

P Po

B désignant un coeflîcient constant qui dépend de la nature de la tige.

152. La fibre moyenne est d’abord un arc de cercle. — Nous traiterons ici le cas simple où la fibre moyenne de la tige est primitivement un arc de cercle ou une droite, — = const., et où

l’on fait agir seulement sur ses extrémités M^ et M2 deux forces T* et T2 situées dans le plan de la courbe d’équilibre et deux couples N, et N2 ayant leurs axes normaux à ce plan.

Les deux forces'V ^ et T2 sont égales et opposées, car, les seules forces extérieures appliquées à la tige en équilibre étant les forces Tj et T2 et les couples N, et N2, la somme des projections de ces forces sur un axe quelconque doit être nulle.

En outre, la somme des moments des forces extérieures devant être nulle par rapport à un point quelconque du plan, les forces T^ et T2 forment un couple qui fait équilibre aux couples N , et N2.

Prenons pour axe Ox {flg, 102) une droite parallèle à T4 et T2. Soit M un point quelconque de la fibre moyenne : si la tige était