CHAPITRE VII. -- SYSTÈMES DÉFORMABLES

coupée en M, la partie M4M serait en équilibre sous l’action des forces extérieures suivantes : i° la force et le couple agissant sur l’extrémité ; 2° une force T et un couple N agissant sur M ; le couple N a pour moment

Ces forces extérieures appliquées à l’arc M se font équilibre. Donc, T est égal et opposé à T<. En outre, la somme des moments de toutes les forces extérieures, par rapport à un point du plan, doit être nulle. Prenons la somme des moments par rapport à O; nous avons, en appelant ordonnées des points M

et M, ,

TijKi — Tjk — Ni-f- N = O,

d’où, en remplaçant T par T4 et N par sa valeur (i), l’équation

\P po /

Si T< était nul, c’est-à-dire si l’on faisait agir uniquement des couples sur les extrémités de la tige, cette équation donnerait

pour ^ une valeur constante et la figure d’équilibre contraint serait un autre are de eercle.

Laissons ce cas de côté et résolvons par rapport à - en mettant -~

en facteur dans le deuxième membre; nous aurons une équation de la forme

€- désignant la constante positive ^ et b une autre constante. On

peut toujours déplaeer l’axe des æ parallèlement à lui-même de façon à faire disparaître cette dernière constante et à ramener ainsi l’équation de la courbe à la forme

On a ainsi l’équation différentielle de la courbe suivant laquelle se dispose la fibre moyenne. Pour l’intégrer, appelons 8 A. — I.

angle de

la normale en M avec O y {Jîg. 102); si le point mobile se déplace de ds^ la normale tourne de l’angle et l’on a

ds P c"’

d’où, par (3)

différentiation,

ds-

I dy

sin 0,

car ^ est égal à — sin 9 et ^ à cos 9, ds ^ ds

Pour intégrer l’équation (3), multiplions les deux membres

par et intégrons : il vient

^ ) = — (cosO + [a), ds ==

crt'O

± \/2( cos 0 H- [J. )

^ désignant une constante arbitraire. On a alors

c cos 0

dx = ds cosO =:

d’on

v/2(cos0 -4- (J.)

=cf" yii

Jq ± J'I. ( CC

± /u,( COSÜ -t- [Jl)

où il est inutile d’ajouter une constante, car on peut toujours supposer qu’on ait pris pour axe Oy la normale à la courbe perpendiculaire à O^. On a en outre

(6) y=j=c^.^ =±cv/2(cos0-i- [a).

Ces formules (5) et (6) donnent x ety en fonction de 9. Trois cas sontà distinguer, suivant que [a est compris entre — i et -j- i , supérieur à i, ou égal à 1.

Indiquons sommairement la forme de la courbe dans ces trois cas.

La discussion repose sur les remarques suivantes :

Convenons de compter l’arc s de la courbe à partir du point A situé sur Oy {fig. 102), et de prendre comme sens positif de s le sens du mouvement d’un mobile dont l’abscisse d’abord nulle devient positive. Quand on parcourt la courbe dans ce sens, s croît toujours; donc ds est toujours