CHAPITRE VII. — SYSTÈMES DÉFORMABLES

positif et, dans la formule (4 ), le radical a toujours le meme signe que ce signe du radical doit être conservé dans toutes les formules suivantes. D’après les formules

cosO,

on voit que les coordonnées y x croissent ou décroissent avec s croissant, suivant que — sinô et cos6 sont positifs ou négatifs. Enfin les points d’inflexion de la courbe sont les points où elle coupe l’axe des x^ car r’équation (2) montre que p est infini pour jk = o et réciproquement.

L’axe Oy est un axe de symétrie de la courbe.

Premier cas : — i < p. < i . — Dans ce cas, on peut poser p =: — cosa, et le radical qui figure dans les formules prend la forme

y/2(eos6 + p) = v/2(cos0 — cosa) ;

pour qu’il soit réel, il faut que 6, partant de zéro, varie de — a à + a. En faisant varier 0 de o à a, on a l’arc AB {Jig. 102, I; fig. io3, I, II, III) ; en faisant varier 0 de o à — a, on a l’arc symétrique AB’.

Aux points B et B’, la courbe coupe l’axe Ox sous l’angle a, puisque la normale en B, par exemple, fait avec Oy l’angle a. L’abscisse du point B est, d’après (5),

\/‘î{CO?.

cos 6 dO

COS 0 — cosa)

où le radical est pris positivement.

Quand a est aigu ou droit, Xo est positif, car tous les éléments de Tinté-

grale sont positifs (courbe I, Jig. io3); quand a croît à partir de —5

O7o est d’abord positif (forme I, fig. 102), s’annule pour une certaine valeur ao de a (forme W^Jig. io3), puis devient négatif (forme III, io3); quand a est voisin de tt, Xç^ est négatif et très grand; ee dernier fait résulte de ce que, pour a = tt, on a Xq = — co ; en effet, on a alors

'"cos 6 d^

intégrale égale à — 00. Dans ce cas limite, p=i, la courbe a donc la forme IV asymptote à O x.

Si s continue à croître à partir du point B, 6 doit nécessairement décroître, car il ne peut pas dépasser a : à partir de ce moment, il faut prendre le signe — devant le radical; 6 variant de a à — a, on a un nouvel arc de courbe symétrique du premier par rapport à B, et ainsi de suite. On a ainsi une infinité d’ondulations toutes égales comme dans une sinusoïde.

STATIQUE

Deuxième cas. — Si l’on a [2> i, 6 peut varier de o à 2tc; y et - ne

s’annulent jamais; la courbe a la forme II de la figure 102.

Les intégrations correspondant à ces deux cas peuvent être faites effectivement à l’aide des fonctions elliptiques (voyez Principes de la théorie des fonctions elliptiques, par MM. Appell et Lacour, p. 184 et suiv.).

Troisième cas. — Dans le cas intermédiaire où p = la courbe est asymptote à Ox comme nous l’avons déjà dit, car Xç^— — io3, IV).

Dans ce cas, on peut effectuer toutes les intégrations par des fonctions élémentaires.

153. Cas où la tige est primitivement rectiligne et soumise à ses deux bouts à deux pressions T égales et directement opposées. — L’observation montre que, si une tige élastique d’abord rectiligne est soumise à ses deux bouts à deux pressions T égales et opposées, la tige ne fléchit que quand la valeur de T surpasse une certaine limite. Quand T est inférieur à cette limite, la seule figure d’équilibre possible est la forme rectiligne : ce n’est que pour des valeurs de T supérieures à cette limite que les formes d’équilibre courbes que nous venons d’étudier sont possibles. Nous allons déterminer cette limite.

Dans le cas actuel, la fibre moyenne étant rectiligne à l’état naturel,

on a = O, d’où, pour le couple N en un point quelconque (1), po

ce couple est donc nul en même temps que la courbure. Or nous supposons qu’aux deux extrémités B' et B" de la tige on applique deux forces T