CHAPITRE VII

SYSTEMES DEFORMABLES.

4. Si un pol^rgone funiculaire est en équilibre, prouver qu’en construisant les vecteurs conjugués des forces et des tensions, et les droites conjuguées des côtés par rapport à une sphère (imaginaire), comme on l’a indiqué dans l’exercice 3, à la fin du Chapitre I, on obtient un nouveau polygone en équilibre. Les côtés de l’un de ces polygones sont les droites conjuguées des côtés de l’autre; les sommets de l’un, les points conjugués des plans formés par deux côtés consécutifs de l’autre.

5. Travures réticulaires. — Théorème de Rankine (voyez Philos. Magazine, vol. XXVII, 1864, p. 92; Clerk Maxwell, ibid., p. 260). — Des forces appliquées aux articulations d’un système polyédral de barres sont en équilibre quand elles sont perpendiculaires et proportionnelles aux faces d’un polyèdre dont les arêtes sont dans des plans menés, par un point fixe O, normalement aux barres du système.

Solution. — En supposant le système polyédral de barres en équilibre, on construira le polyèdre obtenu en prenant les vecteurs conjugués des forces et des tensions par rapport à une sphère imaginaire de centre O, conformément à la méthode indiquée antérieurement (exercice 3, à la fin du Chapitre I).

( Voyez un article de M. Guido Hauck, Journal de Crelle, t. 100, p. 365.)

6. Un quadrilatère articulé, formé de quatre tiges de longueurs invariables a, 6, c, d, est sollicité par quatre forces appliquées aux quatre sommets. Que doivent être ces forces pour qu’il y ait équilibre? (Ce problème est résolu par Môbius, Statique).

7. Système articulé de Fuss. — On considère un polygone plan, formé de barres matérielles rigides articulées à leurs extrémités : dans le plan du polygone, on applique au milieu de chaque barre, perpendiculairement à la barre, une force proportionnelle à sa longueur.

Démontrer que la figure d’équilibre est un polygone inscriptible.

8. Dans un fil homogène pesant en équilibre, le rayon de courbure varie proportionnellement au carré de la tension (Mobius).

9. Supposons plusieurs fils homogènes identiques, d’abord tendus en ligne droite depuis un point P jusqu’à des points N, Nj, N^, ...,N^, situés sur une même verticale, puis déplaçons un peu le point P sur une horizontale, de façon à le rapprocher de la verticale, en l’amenant en M. Alors les fils supposés pesants se disposent suivant des chaînettes. Démontrer ;

I* Que toutes ces chaînettes ont même paramètre a\

2° Que leurs sommets sont sur une chaînette de même paramètre a tournant sa concavité vers le bas et ayant son sommet en M (Môbius).

10. Positions d’équilibre d’un fil homogène pesant assujetti aux conditions aux limites indiquées par l’un des énoncés suivants, dans lesquels la longueur du fil est supposée donnée :

1“ L’une des extrémités est attachée en un point fixe A; l’autre passe sur une poulie infiniment petite B, située à la même hauteur que A, puis pend librement.

2® Le fil passe sur deux poulies infiniment petites, placées à la même hauteur, et les deux extrémités pendent librement. {Rép. .-Les deux parties pendantes ont même longueur et se terminent sur la base de la chaînette; il y a deux positions d’équilibre, une stable, l’autre instable. )

3° Les extrémités du fil glissent sans frottement sur deux circonférences égales, tangentes extérieurement et ayant leurs centres à la même hauteur.

4° Le fil est fermé et passe sur deux poulies infiniment petites A et IL [Bép. : Deux chaînettes ASB, AS'B de même base^; si, par la poulie la plus basse A, on mène une horizontale AU'U coupant les deux courbes en ü' et ü, les longueurs des deux chaînettes ASB et AS'B sont inversement proportionnelles aux arcs BU et BU' ( Mobius ).]

5“ Les deux extrémités sont attachées en deux points fixes placés à la même hauteur; le long du fil peut glisser sans frottement un anneau infiniment petit M auquel est suspendu un poids P. {Bép. : L’anneau va se placer au milieu du fil; les deux parties MA et MB sont deux chaînettes de même base; en M il y a un point anguleux; les tensions des arcs MA et MB font équilibre au poids P.)

11. Trouver la figure d’équilibre que prend, sous l’action du vent, une voile rectangulaire ABGD fixée par deux bords opposés à deux vergues verticales AB et CD. (On néglige l’action de la pesanteur; on suppose que le vent souffle horizontalement et que la pression du vent sur un élément de voile lui est normale, pi’oportionnelle à sa surface et au carré de la composante normale de la vitesse du vent. On peut regarder comme évident que la voile prend la forme d’un cylindre à génératrices verticales et que la nature de la section droite est indépendante de la hauteur. Il suffit donc d’exprimer qu’une bande comprise entre deux plans de section droite infiniment voisins est en équilibre. Cette bande est assimilable à un fil flexible et inextensible : en appliquant les équations intrinsèques, on trouve qu’elle prend la forme d’une chaînette et que la tension est constante. )

12. Figure d’équilibre d’un fil dont chaque élément est sollicité par une force verticale proportionnelle à la projection horizontale de l’élément. ( Parabole. — Cas limite du pol^'^gone funiculaire des ponts suspendus.)

Déterminer les constantes, sachant que le fil a une longueur donnée et est attaché en deux points donnés.

13. Figure d’équilibre d’un fil pesant dans lequel la densité varie proportionnellement à l’arc s compté à partir du point le plus bas.

14. Même question en supposant la densité égale à — - — (cercle).

cos^-

15. Calculer la loi que doit suivre la densité d’un fil pesant en fonction de s, pour qu’il se dispose sous l’action de la pesanteur suivant une courbe donnée (parabole d’axe vertical, circonférence, etc.). On aura la solution de cette question en partant de l’équation intrinsèque du n" 138.

16. Chainette d'égale résistance. — On appelle ainsi une chaîne d’épaisseur variable telle que, dans la figure d’équilibre, l’épaisseur soit en chaque point proportionnelle à la tension en ce point : dans ce cas, il n’y a pas plus de chance de rupture en un point qu’en un autre (Coriolis). On demande l’équation de cette courbe et la loi d’épaisseur.

Béponse. — Soient u la section droite de la chaîne, variable avec s, p le poids de l’unité de volume; le poids de l’élément ds est p<sds. La courbe a pour équa-