CHAPITRE VII. — SYSTÈMES DÉFORMABLES

lion, en prenant comme origine le point le plus bas,

e“ cos - = i, a ’

et la loi de l’épaisseur cr est <7 =:

• acos — a

17. Figure d’équilibre d’un fil dont chaque élément ds est sollicité par une force F ds normale à un axe fixe qu’elle rencontre, F étant fonction de la distance r de l’élément à l’axe.

Réponse. — Prenant l’axe pour axe O .s et appelant r et ô les coordonnées polaires dans le plan tcOy, on a les trois équations

Quelle que soit la loi de la force, on a une équation différentielle de la forme

qui montre que les tangentes à la courbe appartiennent à un complexe linéaire.

18. Cas particulier du problème précédent, où F = ;j./’ (p. constante), les conditions aux limites étant quelconques. Ce problème est traité par Clebsch, par une méthode spéciale qui sera exposée en Mécanique analytique {Journal de Crelle, t. 57, p. gS).

Nous avons donné dans le texte ( n° 142) le cas où les deux extrémités du fil sont attachées en des points de l’axe.

19. Trouver la figure d’équilibre d’un fil dans un plan, sachant que chaque élément est sollicité par une force proportionnelle à cet élément et faisant avec lui un angle constant. [On emploie les équations intrinsèques : la courbe est une spirale logarithmique. (O. Bonnet.)]

20. Trouver la loi de la force verticale sous l’action de laquelle un fil se dispose suivant une courbe plane donnée.

[Le problème n’est pas entièrement déterminé, si l’on n’ajoute rien à l’énoncé relativement à la nature de la force. Pour que le problème soit déterminé, il faut donner la variable en fonction de laquelle la force doit être exprimée. Le fil étant dans le plan xOy et la force Y ds parallèle à Oy, Y peut être exprimé en fonction de l’une des quantités suivantes x.,y, s, a, a étant Tangle de la tangente avec Ox, ou de plusieurs de ces quantités à la fois. Par exemple, si la courbe donnée est le cercle æ;- -t- — a- = o, l’équation intrinsèque (n“ 13S) donne

a cos^a

puis,

comme tanga = — — et 5 =: aa.

ka

ka

a cos^ —

Voilà donc autant de lois de forces différentes conduisant au cercle donné.] Réciproquement, trouver la figure d’équilibre d’un fil sollicité par une force verticale dont la loi est exprimée par l’une des formules précédentes (i), (2), (3), (4). On trouvera des courbes entièrement différentes suivant celle des lois choisies : toutes, par la particularisation des constantes, devront donner le cercle

21. Trouver la loi d’une force centrale sous l’action de laquelle un fil se dispose suivant une courbe plane donnée.

[On peut répéter ici les mêmes remarques que sur l’exercice 20. En appelant r et 0 les coordonnées polaires, le centre des forces étant à l’origine, on trouve

où F est regardé comme positif ou négatif, suivant que la force est répulsive ou attractive.] Exemple :

cercle, /’= 2 a cos 6, cls = ‘iad^, F = ^-^3— •

22. Figui-e d’équilibre d’un fil dont chaque élément est attiré ou repoussé par un centre fixe en raison inverse du carré de la distance. ^On trouve une équation de la forme — a -+- 6 cos w9 ou ^ = a -t- 6 cos li5^p. m6, ou, comme cas intermédiaire, j =

23. Si une même courbe est la position d’équilibre d’un fil sous l’action d’une force F,, la tension étant Tj, puis, sous l’action d’une force Fj, la tension étant T2, elle est aussi la figure d’équilibre du fil sous l’action d’une force ( F) = (/{-J Fj ) 4- (/v2F2), la tension étant (T) = ( A-iTj) 4- ( ^-2X2 ) ; A-j et /c2 désignant des constantes et ces équations étant prises dans un sens géométrique (Bonnet). On emploie les équations intrinsèques.

24. Un fil libre, sous l’action d’une force donnée F, se dispose suivant une courbe G; on réalise cette courbe matériellement, puis, soumettant le fil à la même force F, on le tend sur la courbe G ; démontrer que, dans cette seconde expérience, la réaction normale de la courbe G sur l’élément ds est dans le plan

osculateur et a pour valeur ^ > k constante, p rayon de courbure.