CHAPITRE I
THEORIE DES VECTEURS
Le moment JlLi du vecteur P] par rapport à l’axe A étant égal à 6 voI(Pi, P2), divisé par P2, on a
Cette expression générale donne, comme vérification, les valeurs du moment de Pi par rapport aux trois axes coordonnés. Pour Taxe O^, par exemple, il suffit de supposer x\ y\ z' , x", y'' nuis et z" = i. On trouve alors pour moment Ni. De même, pour les axes Ox et Oy, on trouverait Li et Ml.
13. Vecteurs glissants concourants ; leur résultante. — Soient Pi,
P2, ..., P« des vecteurs glissants portés par des droites qui concourent en un point A. On peut transporter chacun de ces vecteurs le long de la droite qui le porte, de façon à appliquer les vecteurs au point A lui-même, comme dans la figure 9. On appelle
Fig. 9.
Pj
alors résultante des vecteurs considérés un vecteur R équipollent à leur somme géométrique, appliqué au point A, ou l’un quelconque
des vecteurs déduits de R par glissement. Dans la ligure 9, cette résultante a été construite en partant de A et portant bout à bout des vecteurs APi, Pi Q2, ..., Q/i équipollents aux vecteurs
donnés; la résultante R est AQ,/.
Projections de la résultante R. — Nous avons déjà dit(n° 4) que les projections X, Y. Z de R, sur les trois axes, sont égales respectivement aux sommes des projections des composantes
Y = 2 Ya,
Z — E Za.
Moments de la résultante par rapport aux trois axes. — Désignons par x.^ y, z les coordonnées du point A. Les moments du vecteur P;^(Xa, Y^, Z/^) par rapport aux axes sont
L/,. = jkZ/; — 2Y4., Mk= — xZk, ^,^z=xYk —
les moments de la résultante par lapport aux mêmes axes sont L=jZ — ^Y, M = zX — xZ, ^ = xY—yH.
D’après les valeurs ci-dessus de X, Y, Z, on a évidemment
L = Li-4- L2-I-. . .-t- L„, M = EM/c, N = SNæ.
En résumé, les six coordonnées X, Y, Z, L, M, N de la résultante sont respectivement les sommes des coordonnées correspondantes des composantes.
Comme on peut prendre lel axe qu’on veut pour axe coordonné, on voit que la projection de la l'ésultante de plusieurs vecteurs concourants sur un axe est égale à la somme des projections des vecteurs sur cet axe; le moment de la résultante par rapport à un axe est égal à la somme des moments des vecteurs par rapport au même axe. (Ce dernier théorème est dû à Varignon.)
On en conclut que le moment, par rapport à un point O de la résultante de plusieurs vecteurs concourants est la somme géométrique des moments des vecteurs composants. En effet, le point O étant pris pour origine, L, M, N sont les projections sur les trois axes du moment OG de la résultante par rapport à ce point; L4, M;t5 les projections du moment OG/t du vecteur P/f par rapport au même point O; les équations précédentes expriment
précisément que OG est la somme géométrique de OGi , OGo, . . . ,
ôg!;.
Remarcjue. — Fêtant donné un vecteur AP, on peut vouloir le décomposer en d’autres vecteurs ayant A pour origine, c’est-à-dire trouver des vecteurs qui, composés ensemble, donnent AP.
Par exemple, on peut toujours, à l’aide d’un parallélogramme, décomposer AP en deux vecteurs dirigés suivant deux directions données AB, AC, dont le plan contient AP.
