CHAPITRE VII. — SYSTÈMES DÉFOHMABLES

25. Soit M un point quelconque d’un fil en équilibre. Démontrer que le moment résultant, par rapport à M, de toutes les forces extérieures agissant sur le fil depuis une extrémité jusqu’au point M e.s^ nul (Mobius). (Ce résultat se déduit du principe de solidification appliqué à l’arc M(,M. — On trouvera sous une autre forme des résultats indiqués dans le texte, en appliquant cette condition à la portion d’une chaînette en équilibre comprise entre le sommet M„ et un point M, et introduisant la tension T„ en comme inconnue auxiliaire.)

26. Dans une chaînette pesante, de densité variable, en équilibre sur une sphère, l’hyperboloïde ayant pour génératrices d’un même système les tensions en deux points A et B et la verticale du centre de gravité de l’arc AB passe par le centre de la sphère. (On le démontre en supposant l’arc AB solidifié, et remarquant que les forces appliquées à cet arc, tensions en A et B, poids et l ésultanle des réactions de la sphère, doivent se faire équilibre.)

27. Figure d’équilibre d’un fil fiexible et inextensible non pesant, traversé par un courant et soumis à l’influence du pôle d’un aimant O.

[Ligne géodésique d’un cône de révolution de sommet O (Darboux).]

Bappelons que l’action du pôle O sur l’élément situé à une distance r de O,

cl S

est normale au plan O ds et a pour intensité — sin/’, ds.

28. On considère sur une surface fixe S les courbes G qui, parmi toutes les courbes tracées sur cette surface entre deux points, rendent minimum l’intégrale I = J cp ds, courbes qui ont été déterminées dans le n° 149. Démontrer que,

quand on passe d’une de ces courbes AB à une courbe infiniment voisine A, B, sur la surface, la variation de l’intégrale est encore donnée par la formule de Tait et Thomson. En déduire les mêmes conséquences que pour les courbes G dans l’espace ( n“ 147 ).

29. On considère dans un plan zOx des chaînettes ayant Qx pour base et coupant normalement une courbe fixe G : à partir du point A où chaque chaînette coupe cette courbe, on prend sur celte chaînette un arc AB tel que, en tournant autour de Ox, cet arc engendre une aire déterminée S. Démontrer que le lieu des points B est une courbe G' normale à toutes les chaînettes. (Application du théorème de Tait et Thomson.)

30. Étant donnés deux points fixes A et B et des surfaces fixes Sj, S2, ..., S^, (\oir fig. 101, n" 150), on imagine des points mobiles Pj, Pj, ..., P^, glissant sans frottement sur ces surfaces. Le premier point Pj est attiré par le point A avec une intensité constante 71 et par le point P^ avec une intensité constante n^; le deuxième point Pj est attiré par P^ avec une intensité constante et par P3 avec une intensité constante n^, ..., et ainsi de suite. Démontrer que la position d’équilibre du système est le trajet d’un rayon lumineux allant de A en B, suivant les lois de la réfraction, tel qu’il a été indiqué dans le texte.

31. Le trajet APjPj . . . P^,B d’un rayon lumineux de A en B, suivant les lois de la réfraction (n° 150), est la figure d’équilibre d’un polygone funiculaire dont les sommets A et B seraient fixes, les sommets Pj, Pj, ..., P^ mobiles sans frottement sur les surfaces Sj, S2, ..., S^, et dans lequel la tension du côté P^. P^.^i serait (Autre forme de l’énoncé précédent.)

DliUXlÈMIî PARTIE. — STATIQUE.

32. Si, le long d’une courbe C ( n° 146) joignant deux points A et B, la fonction (û{x,yyZ) devient positive et négative, l’intégrale

prise le long de cette courbe, ne peut être ni maximum, ni minimum. ( Weier- STRASS. Voir une Note de M. Kobb, Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse; 1891.)

33. Soient A et B deux points placés l’un au-dessus, l’autre au-dessous du plan xOy\ si l’on cherche parmi les courbes joignant ces deux points celle qui rend maximum ou minimum l’intégrale

où n est un entier positif pair, on trouve que cette courbe est formée des perpendiculaires AA’ et BB', abaissées des points A et B sur le plan xOy, et de la droite A' B'.

34. Considérons une fonction o{x, y,z)^ finie et continue dans la région de l’espace située d’un côté d’une surface S sur laquelle cette fonction prend la valeur constante k\ soit y, z) une deuxième fonction finie et continue de

l’autre côté de cette surface S et prenant sur S une valeur constante A"!*, soient enfin A un point placé dans la première région, B un point de la deuxième. Chercher par quelle courbe il faut joindre les deux points pour que, en appelant P le point où elle coupe la surface S, on obtienne pour l’intégrale

un maximum ou un minimum.

^Les arcs AP et BP sont respectivement des courbes rendant la première et la deuxième intégrale maximums ou minimums; les tangentes ^ et à ces courbes au point P sont dans un même plan avec la normale à S en P et font avec cette

35. Si l’arc AP se déplace normalement à une surface S, qu’il rencontre en A, et si l’on prend, sur les courbes AP et BP de l’exercice précédent, des longueurs telles que l’intégrale I ait une valeur constante, le lieu du point B est une deuxième surface S, normale aux arcs PB. ( Cette propriété se démontre à l’aide de la relation de Tait et Thomson, n“ 147, appliquée successivement à la variation de chacune des deux intégrales qui composent I.)

36. Une tige élastique rectiligne et verticale à l’état naturel est encastrée à un bout A et soumise à l’autre bout B à une force T verticale. Quelle est la limite de T à partir de laquelle la tige fléchit?-

37. Comme addition aux travaux cités ( n° 144) sur la chaînette sphérique, nous indiquerons une Note de M. Cornes Teixeira dans les Annaes scientificos da Academia Polytechnica do Porto, t. IV, 1909.

normale des angles i et f,, tels que = -7^

^ sini, k